浅谈多元函数求极限的一般解法和特殊解法VIP

第7卷中国教育发展研究杂志V o 1 .7 2 0 1 0年4月第4期thereserhjonrlonlonlonlonlon.400多变量函数求极限的一般解法和特殊解法李文浩张跃西南交通大学峨眉校区四川峨眉山6 1 4 2 0 2【摘要】讨论多变量函数的多变量性， 多变量函数决定求极限的复杂性和多变量性，本文通过常用方法的介绍，提出一些多变量函数的特殊解法，加深求多变量函数极限的思考和理解。 【关键词】函数连续性近似基准极坐标法特殊游标塔法球面坐标法1 .求多变量函数界限的一般方法。 介绍常用方法中的常用解法：利用多元初等函数的连续性法、夹紧标准法、重要极限性质法、理化法、变量置换法。 1 .1利用多次初等函数的连续性法。 通过多次初等函数的和、差、积、商及其复合得到的函数还是连续函数，其定义域具有函数值等于界限值的特性，只要将求出的点P (X o，Yo )带入函数中即可。 册子1轿厢JLj解：4x-y20函数有意义时，(1，0 )为定义域内的点，f (x，y )为(1，0 )连续： 【 说明，:-ino-(1； 2一e)2:利用ln22l0I.2剪贴法。 在x、y的变化过程中，如5)f(x、(5y )且y ) A、(其中，a为常数) 、lJ f (x、_ )这样根据双边钳位的原理求极限通常应用于可变换绝对值不等式的函数极限。 求出例题2、l:I:I:12y。 解：因为2xYYLXYYYYY2，所以02，再加上l xi -mJ- O 0，用夹紧得到一o，y-toiI-OA1.3的重要极限的性质法。 求多变量函数的界限时，一变量函数中观察到一些特殊的界限特征，可以经过结构转变为利用重要界限的性质求多变量函数的界限。 例题3，求1 i m :=的：=: 十j，解：当。 0，全部满足：存在)0 (E )时，取0的任意值，一定： (x o p c o s O，YOPSINA)Ie，必须是f (x，l i m f (x )。 p c o s O，y。 ps i n 0 )=A。 第七卷2 0 1 0年4月第四期中国教育发展研究杂志. t.h.e.e.a.r.c.h-j-o-urnalofch inadeductionaldevelotv _ dij.7勋章：警南比塔，y )角三二令c。 s J、p sin、l im fg (x、y )。 由于p=/(x-0 ) (10 )内在的比喻寿命LiMLPlaimLPLPcocsusinio，以及一个IMM，因此由夹入定理得出： l i :m l x y I=。l； i :m3号。 2 .2球坐标法。 直角坐标与球面坐标的关系为： x=:rcsisisisnsininq【z=rcsos的f (x，y )被定义在具有点(o，y 0)的向心附近时，lqmx-*x0，y-y0，f (x y )=A的满足条件始终为lim r1. f (rcos0x 0rsin0YY o ) 讥笑、树篱求解：此处应明确采用球坐标法，依据x o=3、y o=2、推论2，分别为1 f (r c o s O 3、RSIN8)、u:limm塾2、_ 0(， COS03-3)(RSIN0-2)=l、I。 什么？=linil (rcossosna ) lniladrarcosn0:01p=-1=，:o注：由于多变量函数的参数较多，因此判断其有无界限及其求法比单项函数的界限更难。因此，可以利用球面坐标将多变量函数的界限变为一变量函数的界限来求出，特别是一)形式必须首先联想到球坐标法。 2 .3特殊大厅塔法则。 罗比塔(lhospita1)法则是计算单元函数保留型界限的有效方法。 以旦型为例，直接0可以通过上下直接求出诱导来求出界限，但是在多变量函数中错误较多，能否增加适当的条件，很明显，如果有一元函数求出界限的方法的话，就以旦0型为题， l i m内的DF(x.y)=，但是实际上可以通过直接使用大厅塔定律来确定，此实例说明了在一次函数中大厅定律在多次函数中的限制。 正确答案I:x-o，y - - O时，f (x，y )，g (X，Y ) l g - - o，t=一妾=2=-2 lmm-0. o 告cz1。 c1妻子c1。 c O= 0的结果尚未确定，原函数不存在极限。 解法2 :通过在坐标轴的不同方向上接近0，可以得到界限和未知数k的关系，根据k的变化界限不同，也可以说明不存在界限。 注意：一般的多变量函数的前景塔定律是利用了多变量函数的未定型界限的前景塔定律，具体而言是在点(xoo，y o )的某个向心区域定义函数northerral，y，y )时，f (x，y )、g (x，y )为零(或接近无穷远)的姜(y)0.f(x-xo)1)g.1xo)(-yo)dxx。 (k为有限或无限=大) l i m； g说明：1)xo、Y o均为无限大时，即使将(3)式变更为l i m Lr y香槟法，在舫2 )条件下，(，) (