热学期末考试复习补充题答案

第 1 页 共 11 页 复习补充题 复习补充题 1. 1 mol 单原子分子的理想气体， 经历如图所示的可逆循环， 联结 ac 两点的曲线的方程为 2 0 2 0 /VVpp , a 点的温度为 T0 (1) 试以 T0 , 普适气体常量 R 表示、过程中 气体吸收的热量。 (2) 求此循环的效率。 (提示：循环效率的定义式=1- Q2 /Q1， Q1为循环中 气体吸收的热量，Q2为循环中气体放出的热量。) 2. 1mol 刚性双原子分子理想气体经过如下图所示的过程，其中 1 2 为直线过程 、2 3 为绝热过程、3 1 为等温过程.已知 21 2TT, 31 8VV.求： （）各过程的功、热量和内能变化； （）此循环的热机效率. p0 9p0 a p V O V0 b c 第 2 页 共 11 页 3.一制冷机工作于两恒温源之间，热源温度分别为 1 400TK， 2 200TK设工作物质在 每一循环中，从低温热源吸收热量为 200cal，向高温热源放热 600cal问 （1） 制冷机经过一循环后，热源和工作物质的熵的总变化是多少？ （2） 如将设上述制冷机变为可逆机，且经过一循环过程后系统从低热源吸收热量仍为 200cal，则工作物质向高温热源放出的热量将为多少 4. 1 mol 双原子分子理想气体从状态 A(p1,V1)沿 p V 图所示直线变 化到状态 B(p2,V2)，试求： (1) 气体的内能增量； (2) 气体对外界所作的功； (3) 气体吸收的热量； (4) 此过程的摩尔热容。 (摩尔热容 C =TQ/，其中Q表示 1 mol 物质在过程中升高温度T时所吸收的热 量) 第 3 页 共 11 页 5. 设有1摩尔理想气体氢 （1.4） ， 从体积 1 20VL的平衡态1等压变到体积为 2 40VL 的平衡态2， 再然后从状态2等变容变化到压强 32 2pp的平衡态3 （ 2 p为状态2的压强） 求 熵增 21 SS， 32 SS和 31 SS的值 6. 氖气的摩尔质量为molg /20，若氖气分子的有效直径为md 10 1059. 2 ，问在温度 600K，压强为Pa 2 1033. 1时： （1）分子的平均速度； （2）分子的平均碰撞频率； （3）平均自由程； （4）当温度保持不变，压强降为原来的一半时，分子的平均碰撞频率和平均自由程又为多 少？ 第 4 页 共 11 页 7. 导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动 （故称电子气） 。 设导体中共有N个 自由电子，其中电子的最大速率为 F v（称为费米速率） ，电子在速率dvvv之间的概率 为dvv N A N dN 2 4 （0 vvF，A为常数） ，0 N dN （ F vv ） 。 （1）画出分布函数图； （2）用N、 F v定出常数A； （3）证明电子气中电子的平均动能 F 5 3 ，其中 2 2 1 FF mv。 8. 比热容比为 1.40 的理想气体进行如图所示的循环已知状态A的温度为 300 K求： (1) 状态B、C的温度； (2) 每一过程中气体所吸收的净热量 (普适气体常量R8.31 11 KmolJ ) p(Pa) V(m3) A B C O 2 4 6 100 200 300 400 第 5 页 共 11 页 9. 试由理想气体压强公式和理想气体状态方程推导出理想气体分子的平均平动动能与温度 的关系式，再由此推导出方均根速率与温度的关系式。 10. 1 mol 某种气体服从状态方程RTbVp )( (式中 b 为常量，R 为普适气体常量)，内 能为 0 ETCE V (式中 V C为定体摩尔热容，视为常量； 0 E为常量)试证明： (1) 该气体的定压摩尔热容 RCC Vp (2) 在准静态绝热过程中，气体满足方程 )(bVp恒量 )/( Vp CC 第 6 页 共 11 页 参 考 解 答 参 考 解 答 1. 设 a 状态的状态参量为 p0, V0, T0，则 pb=9p0, Vb=V0, Tb=(pb/pa)Ta=9T0 2 0 2 0 V Vp p c c 00 0 3VV p p Vc pc Vc =RTc Tc = 27T0 (1) 过程 )9( 2 3 )( 00 TTRTTCQ abVV 0 12RT 过程 Qp = C p(Tc Tb ) = 45 RT0 过程 a c V V caV VVVpTTCQ 2 0 2 0 /d)()( )( 3 )27( 2 3 33 2 0 0 00ca VV V p TTR 0 2 0 3 0 3 00 0 7 .47 3 )27( 39RT V VVp RT (2) %3 .16 4512 7 .47 1 | 1 00 0 RTRT RT QQ Q pV 2. 解： （）1-2： 12211 55 () 22 ER TTRT 121221221 11 111 ()()() 222 WppVVp VpVRT 1212121 3QEWRT 2-3： 23 0Q 23V,m32V,m121 5 ()() 2 ECTTCTTRT 2323 52WERT 第 7 页 共 11 页 3-1： 31 0E 1 3111 3 lnln8 V WRTRT V 3131311ln8 QEWRT （） 31 2 112 11 QQ QQ 00 30.7 3. 解： （1）高温热源的熵增量为 1 1 1 1 600 1.5 400 Qcal Scal K TK 低温热源的熵增量为 1 2 2 2 200 1 200 Qcal Scal K TK 工作物质状态不变，熵不变 热源和工作物质熵的总增量为 1 12 0.5SSScal K （2）如设上述制冷机为可逆机，则经过一循环后，热源和工作物质熵的总变为零，则有 12 12 0 QQ TT 1 400Qcal 4. (1) )( 2 5 )( 112212 VpVpTTCE V (2) )( 2 1 1221 VVppW， 第 8 页 共 11 页 W 为梯形面积，根据相似三角形有 p1V2= p2V1，则 )( 2 1 1122 VpVpW (3) Q =E+W=3( p2V2p1V1 ) (4) 以上计算对于 AB 过程中任一微小状态变化均成立，故过程中 Q =3(pV) 由状态方程得 (pV) =RT， 故 Q =3RT， 摩尔热容 C=Q/T=3R 5. 解：1-2 为等压过程 12 12 VV TT 21 2TT 22 21 11 p C dT dQ SS TT 7 2 p cR 21 7ln2 2016/ 2 SSRJK 2-3 为等容过程 22 23 pp TT 32 2TT 33 32 22 V C dTdQ SS TT 5 2 V CR 第 9 页 共 11 页 32 5ln2 14.40/ 2 SSRJK 313221 6ln234.56/SSSSSSRJK 6. 解： （1）分子的平均速度：sm M RT v/9 .79860. 1； （2）分子的平均碰撞频率：)(1082. 322 1622 s kT p vdvndZ； （3）)(1009. 2 2 1 4 2 m nd Z v ； （4）当温度保持不变，压强降为原来的一半时，分子的平均碰撞频率 12 1 2 1 2 2 1 , 2 1 ZZ p p Z Z 平均自由程 12 2 1 1 2 2 , 2 p p 7. （1）由题设可知，电子的速率分布函数为 2 4 )(v N A Ndv dN vf （0 vvF，A为常数） 0)( Ndv dN vf （ F vv ） 其分布函数图如下图所示 （2）由分布函数的归一化条件1 4 2 0 dvv N AF v 得 3 4 3 F v N A 第 10 页 共 11 页 （3） 5 3 5 44 )( 25 4 00 22FF vv N Av dvv N A dvvfvv F 电子的平均动能 F F v mvm 5 3 5 3 2 1 2 1 2 2 ，其中 2 2 1 FF mv 证毕。 8. 由图得 pA400 Pa， pBpC100 Pa， VAVB2 m 3，V C6 m 3 (1) CA 为等体过程，据方程 pA /TA = pC /TC得 TC = TA pC / pA =75 K BC 为等压过程，据方程 VB /TB =VC TC 得 TB = TC VB / VC =225 K (2) 根据理想气体状态方程求出气体的物质的量(即摩尔数)为 pA VARTA mol 由1.4 知该气体为双原子分子气体，RCV 2 5 ，RCP 2 7 BC 等压过程吸热 1400)( 2 7 2 BC TTRQ J CA 等体过程吸热 1500)( 2 5 3 CA TTRQ J 循环过程E =0，整个循环过程净吸热 600)( 2 1 CBCA VVppWQ J AB 过程净吸热： Q1=QQ2Q3=500 J 9. 由理想气体状态方程 NkTT N R NRT N N RT M pV AA 第 11 页 共 11 页 可得 nkTkT V N p 理想气体压强公式为 knp 3 2 由（1） 、 （2）两式可得 kT k 2 3 再由 kTvm k 2 3 2 1 2 可得 m kT v 3 2 或者 RT m kT v 33 2 10. 热力学第一定律 dQ = dE + pdV 由 0 ETCE V ，有 TCE V dd 由状态方程，在 1 mol 该气体的微小变化中有 p dV +