高中数学解题基本方法(已整理)

高考试题主要从以下方面考察数学思想方法常用数学方法：配法、换元法、保留系数法、数学归纳法、参数法、消去法等数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等数学思维方法：观察与分析、摘要与抽象、分析与整合、特殊与一般、类比、摘要与演绎等常用的数学思想：函数和方程式思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想等。第一章高中数学解题的基本方法一、分配方法配方法是对数学式实施方向性变形(完全平方)的技术，通过处方找到已知和未知的联系，使复杂化变得简单。 何时处方，我们需要适当预测，合理运用“裂项”和“追加项”、“配方”和“凑”技术，完成处方。 有时也将其称为“拼凑法”。最常见的处方是进行常数等变形，使数学公式完全平方。 这主要应用于已知或未知的二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论和求解，或者没有xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方方法中使用最基本的处方是基于二元完全平方式(a b)2=a2 2ab b2，通过利用该式，能够得到各种基本的处方形式a b=(a b)-2ab=(a-b) 2ab；a ab b=(a b)-ab=(a-b) 3ab=(a )b；a b c ab bc ca=(a b) (b c) (c a)ABC=(ABC )-2 (ab BC ca )=(a B- c )-2 (a B- BC-ca )=将其他数学知识和性质相结合，相应地有其他处方形式1 sin2=1 2sincos=(sin cos)；x=(x )-2=(x-) 2； 等。I、重现性问题组：1 .在正项等比数列a中，如果asa 2asa aa=25，则a=_ _ _ _ _ _ _ _。2 .方程式x y-4kx-2y 5k=0表示圆的充分条件为_ _。A. 1 C. kR D. k=或k=1如果已知sin cos=1，则sin cos的值为_。A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 04 .函数y=log (-2x 5x 3)的单调增加部分是_。A. (-， B. ，) C. (-， D. ，3 )5 .方程x (a-2 )当知道x a-1=0的两条x，x时，点P(x，x )在圆x y=4上为实数a=_。【简解】1小问题：利用等比数列的性质aa=a，容易求出已知方程式的左边后处方(a a )。 答案是： 5。2小问题：处方为圆的标准方程式形式(x-a) (y-b)=r，解r0即可，选择b。3小问题：方程式处方为(sin cos)-2sincos=1，求出sincos，求出求出式的平方值求解。 选择c。4小问题：处方后得到对称轴，将定义域、对数函数和复合函数的单调性结合求解. 选择d。5小问题：答案3-。ii、典型问题小组：例1 .可知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，该长方体的对角线的长度为_。A. 2 B. C. 5 D. 6【分析】首先转换为数学式：如果将长方体的纵横比的高度分别设为x、y、z，则可以求出对角线的长度，并将其与两个已知式的组合形式相结合。【解】众所周知，将长方体的长宽比分别设为x、y、z时，“长方体的整个面积为11，其12条棱的长度之和为24”。长方体所要求的对角线长度为=5。 所以我选b。注意：本问题的解答关键在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表达式，将三个数学表达式与观察和分析，以配置方式将三个数学表达式相结合，即将已知和未知相结合并求解。 这也是我们开的解题模型。例2 .设方程式x kx 2=0的两个实根为p、q，如果()7成立，则求出实数k能够取得的范围。【解】方程式x kx 2=0的两个实根为p，q，根据韦德定理，p q=-k，pq=2() ()=7，解释为k-或k。p，q是方程式x kx 2=0的两个实根，8756； =k-80即k2或k-2总之，k的值范围是：-k-或k。【注】关于实系数一元二次方程式的问题，在总是考虑根的判别式“”的已知方程式有两条的情况下，能够适当地应用韦德尔定理。 本问题从韦达定理得到p q、p q后，观察已知的不等式，从其结构特征联想先通分后的处方，表示为p q和p q的组合式。 要注意，如果本问题不进行“”的讨论，结果就会出错，即使有一部分问题有可能得到相同的结果，删除“”的讨论，解答也不严格，不完整。例3 .设非零的多个a、b满足a、b=0，求出() ()【分析】关于已知式，变形为()1=0时可以联想到(为1的立方虚根)或处方为(a b)=ab。 代入求得的公式中即可得到。【解】从a ab b=0变化： () ()1=0若设=、 1=0，则可知为1立方虚根，因此=1.另外，从a ab b=0变化： (a b)=ab因此，()=() ()=() ()=2。【注】本问题简化了由处方求出的式子，巧妙地使用1的立方虚根，活用的性质，计算式中的高次幂。 一系列转换过程要求具有很大的灵活性，联想和展开得好。【别解】从a ab b=0中解除变形： () ()1=0，使其成为三角形，代入求出的式子的变形()，完成以下的运算。 该方法只有在不联想的情况下才被用于求解。如果本问题不考虑上述一系列变换过程，也可以从a ab b=0求解： a=b，直接代入求解式，进行分数化简并后，形成多个三角形，利用杨梅定理完成最后的计算。iii，坚定的问题小组：1 .函数y=(x-a) (x-b) (a、b为常数)的最小值为_。A. 8 B. C. D .最小值不存在2.、是方程式x-2ax a 6=0的两个实根，(-1) (-1)的最小值为_。A. - B. 8 C. 18 D .不存在3 .如果已知x，yR并且满足x 3y-1=0，则函数t=2 8有_。a .最大值2 B .最大值c .最小值2 B .最小值4 .如果椭圆x-2ax 3y a-6=0的焦点位于直线x y 4=0，则a=_。A. 2 B. -6 C. -2或-6 D. 2或65 .简化： 2的结果是.a.2 sin4b.2 sin4- 4co4c.-2sin4d.4co4-2sin 46 .将f和f作为双曲线-y=1的两个焦点，点p在双曲线上满足FPF=90，则FPF的面积为_。7 .对于x-1，f(x)=x 2x的最小值是_。8 .已知求出“，cos(-)=，sin( )=-，sin2的值。 (92年的大学入学考试问题)9 .二次函数f(x)=Ax Bx C，其中m，n(m0；t(m t，n-t )时，实数t是否存在以使f(x )为0？ 如果不存在，则说明原因；如果存在，则说明t值的范围。10.s1，t1，mR，x=logt logs，y=logt logs m(logt logs )将y表示为x的函数y=f(x )，求出f(x )的定义域有关x的方程式f(x)=0，只有一个实根时，求m的可取范围。二、兑换法在解数学题时，把某个公式看作一个整体，用一个变量来置换它，从而简化问题，这叫做置换元法。 转换源的本质是转换，关键是结构元素和设置元素，理论依据是等量置换，通过转换研究对象，将问题转移到新的对象知识背景中进行研究，使非标准问题标准化，简化复杂问题，方便处理。转换元法也称为辅助要素法、变量置换法。 引入新变量可以把分散的条件联系起来，揭示隐含的条件，把条件和结论联系起来。 或者变成熟悉的形式，简化复杂的计算和实证。它可以把高次变为低次，把分化式变为整式，把不合理式变为有理式，把超越式变为代式，在研究方程式、不等式、函数、数列、三角等问题上得到广泛应用。兑换的方法有部分兑换、三角兑换、平均兑换等。局部转换源也称为整体转换源，在已知或未知中，一个代数表达式多次出现，通过用字母表替换它简化问题，有时通过变形发现。 例如，解不等式：4 2-20，首先变形为2=t(t0)，成为熟悉的一次二次不等式求解和指数方程式的问题。三角换算元在适用于根号或者容易转换为三角形式求出时，主要在已知的代数式中利用与三角知识的某种联系进行换算。 若求出函数y=的整数值区域，则容易成为0，1 、x=sin、 0，问题成为熟悉的三角函数值区域。 为什么会这么想呢，其中主要是发现价值域的联系，去根号。 当变量x、y满足条件x2 y2=r2(r0 )时，可以使三角置换x=rcos、y=rsin成为三角问题。如果遇到x、y=s格式，则平均转换源为x=t、y=-t等。我们使用变元法的时候，必须按照有利于运算、有利于标准化的原则，在源后重视新的变量范围的选择。 必须使新的变量范围与原变量取得的范围相对应，不能缩小也不能扩大。 上述数例的t0和0，。I、重现性问题组：1.y=sinxcosx sinx cosx的最大值为_。如果设定f(x 1)=log(4-x) (a1)，则f(x )的值区域为_。3 .在已知的数列a中，如果a=-1，aa=a-a，则数列通项a=_。4 .如果实数x和y满足x 2xy-1=0，则x-y可取值的范围为_。5 .方程=3的解是： _ _ _ _ _ _ _ _ _。6 .不等式log(2-1) log(2-2)2的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。【简解】1小问题：假设sinx cosx=t-，则y=t-、对称轴t=-1、t=、y=