电磁学梁灿彬习题选解

电磁学习题1.2.2设2个同一点电荷带电的电荷量之和为q。 在两者的距离一定的前提下，各自的带电量有多少时相互作用最大？答案：设一方点电荷的电荷量为另一方点电荷的电荷量为两者的距离为r，则根据库仑定律求出的两个点电荷间的力使一组导数相对于力f的电荷量q为零，即得到即，将时力f设为极值因此，f取最大值。1.2.3两个距离l的点电荷带电的电荷量分别为2q和q，第三个点电荷放置在哪里，其受到的合力为零？答案：要求第三个电荷q所接受的合成电荷为零，仅在连接两个电荷的线之间插入，其中x为与电荷q的距离，则如图1.2.3所示。 电荷q受到的两个电场力的方向相反，但大小相等，即lxL-x射线q.qq.q2q得到被截断的解1.3.8答复：(1)如果求出垂直无限长带的电线在o点产生的电场强度，则由课题1.3.7(2)可知练习题1.3.7模仿解答过程事故同样，水平无限长带电线在o点产生的电场强度关于带圆弧段的电线在o点产生的电场强度，请参照图1.3.8(b )同样的道理事故能解开(2)利用(1)的结论，参照课题1.3.8图(b )，带电直线在o点的电场强度为的带电直线在o点产生的电场强度根据对称性，圆弧带电线在o点产生的电场强度仅为x成分因此，在带电线o点产生的总电场强度1.3.9解答：yxz轴yxo.o(b )(a )在圆柱上取弧长z细棒，如图(a )中阴影部分所示，细棒带电的电荷量为，因此带电的细棒的线密度与面密度的关系为从练习题1.3.7开始无限长带电线从轴线r产生的电场强度图(b )是俯视图，从对称性来看，无限长带电圆筒面轴线上的电场强度仅为x成分、即1.4.5答案：图为该平板平面图，OO为与板面平行的对称平面。 设体密度，根据对称性分析，对称面两侧的等距离的电场强度的大小相等，方向都垂直于对称面，远离该面。 通过板内的任意点p，以面OO为中心厚度，左右的面积为s的长方体，长方体的6个表面为高斯面，被其包围的电荷量根据高斯定理。前、后、上、下4个面的焊剂为0，但2个对称面s上的电场大小相等考虑到电场的方向，求出板内电场强度表达式中： x是场点坐标用同样的方法，假设面是对称面，厚度为左右的面积为s的长方体，长方体的6个表面是高斯面，其包围的电荷量根据高斯定理前、后、上、下4个面的焊剂为0，但2个对称面s上的电场大小相等考虑到电场的方向1.4.8答复：(1)图1.4.8是挖出的空洞，t点是空洞内的任意点，空洞内的电荷分布可以看作是在电荷体密度的实心均匀带电球偏心的位置加上电荷体密度的实心均匀带电球的结果，因此空洞内的任意点t的电场强度是电荷体密度的实心均匀带电球在t点电场强度和电荷体密度的实心均匀带电球在t点电场强度和可以利用高斯定理求出，即式中：从大球中心o朝向t点的矢量直径从小球的中心朝向t点的矢量直径。空腔内任意点t的电场强度t点是空洞中的任意点，因为是常向量，所以空洞内是均匀的电场。(2)M点是大球外的点，根据重叠原理p点是大球内的一点，根据重叠原理求得1.4.9答案：如果在均匀带电的无限长圆柱内制作同轴半径l小的圆柱，则如图1.4.9(a )所示，被小的圆柱包围的电荷量为高斯定理根据对称性，由于电场只有径向成分，所以圆柱面的上下底面的焊剂为0，只有侧面的焊剂了解柱体内的电场强度如果在均匀带电的无限长圆体外制作同轴半径l的小圆柱体(未图示)，则被小圆柱包围的电荷量解柱体外电场强度柱内外电场强度的-r曲线如图1.4.9(b )所示1.4.10答案：(1)半径为l同轴圆筒面，图1.4.10(a )是位于两个圆筒面之间的圆筒面，被其表面包围的电荷量为根据对称性，由于电场只是径向分量，所以圆柱面的上下底面的通量为0，只是侧面的通量，在的区域II中利用了高斯定理知道区域II内电场强度同样，求出的区域I中的电场强度区域III中的电场强度(2)在某些情况下各地区电场强度的e-r曲线如图1.4.10(b )所示。1.5.2证明：(1)在图1.5.2中，具有作为轴的平行电场线的圆柱体和具有面积s的两个垂直电场线元件S1和S2形成闭合的高斯表面。 面元S1和S2的电场强度分别为和，通过高斯定理得到证明书表示沿场线方向不同场所的电场强度相等。(2)根据(1)得出的结论，在图1.5.2中制作矩形环路径，将不同场上的电场强度分别作为和，根据高斯定理得出证明书垂直场线方向的不同表示电场强度相等。因此证明，在无电荷的空间中，电场线都是平行连续的(不间断的)直线的场所，电场强度的大小在任何地方都相等。1.6.4证明：根据高斯定理求出球心r的来自p点的电场为：球心r的来自p点的电位为1.6.5解答：(1)根据电位定义，III区域的电位II区的电位I区域电位(2)此时，代入(1)的3个区域中的电位公式求出、V-r曲线如图1.6.5(a )所示此时，代入式(1)的3个区域的电位的式子求出、v-r曲线如图所示。1.6.6答案：均匀电荷密度的实心大球的电荷量与挖空洞的小球的电荷量相对应，电荷密度大的球在m点的电位电荷密度-球在m点的电位m点电位为电荷密度大球在p点的电位电荷密度-球在p点的电位p点电位为电荷密度大球在o点的电位电荷密度-球在o点的电位o点电位为电荷密度大球在o点的电位电荷密度-球在o点的电位o点电位为2.1.1答案：创建球坐标系。 如图所示，球体表面上的多面面积为式中：因为面额dS以外的电荷，在dS存在的场所发生的电场强度。以z=0平面为边界，导体右半球的电荷为正，导体左半球的电荷为负，通过对称性，面要素所受到的力与垂直于z轴的分量被抵消，因此面要素dS所受到的电场力的z分量、即在(4)式中代入(1)式，对于右半球积分，注意积分的上下限左半球受到的力量2.1.4答案：解：从左到右各板表面的电荷密度是利用静电平衡条件列方程式求出的(无限大平行金属板)收到：2220将b板接地： (4=0)22202.2.1答案：由于电荷q配置在空腔的中心，因此在导体壳体内壁感应的电荷-q和壳体外壁的电荷q在球壳体内、外壁均匀分布，这些感应电荷在球壳体内产生的耦合电场强度为0，壳体内的电荷和球壳体内壁的电荷在壳体外产生的电场强度为0，因此在壳体内来自球心的电位导体球壳内电场强度和电位分别为球壳外的电场被壳外壁的电荷激发，壳外的电位电场强度大的e和电位v的分布如图所示。2.2.2答案：由于在球状金属模腔内壁感应的电荷的电荷量为-q，点电荷q位于偏心位置，因此模腔内壁的电荷面密度分布不均匀，球状金属模腔外壁的电荷面密度分布均匀，根据电位重叠原理，o点的电位为2.3.2答案：(1)平行放置厚度为t的中性金属板d时，在金属板的上、下出现等值异常信号的感应电荷，电场仅在电容器极板和金属板之间，以电荷面密度为电场a、b间电压为a、b间电容器c(2)金属板从极板的远近对电容器c没有影响(3)将未设置金属板时的电容器的容量放置金属板后，板间空气的厚度此时电容器的容量由于a、b没有与外部电路连接，因此电荷量不变化，但此时a、b之间的电压为2.3.5答案：(1)图中各电容器的电容值，c、d间电容为其等效电路如图(a )所示，e、f间电容同样，其等效电路如图(b )所示，a、b间电容(2) A、b间的电位差为900V，等效电容上的电荷量为如从图(b )可知，与a、b相接的两个电容器的电荷量相同或相反。(3)从图(b )可知，由于3个电容器电容值相等，因此e、f间电压另外，从图(a )可知，e、f间电压也被施加在3个电容值相等的电容器上2.3.7答案：方法1 :各电容器的标签如图所示在a、b、d、E4的连接点显示独立的3个电荷量的方程式三个电压方程由(1)、(3)式得到由(4)、(5)式得到由(7)、(8)式得到在(5)式中代入(1)、(9)式时根据电容器定义方法2 :由于问题中C1、C3、C4、C5均为4，因此对称性C2上的电荷为零()C4和C3是串联的C1和C5串联连接22202.5.1答案：在串联的情况下，两个电容器的电荷量相同，电量之比为在并联情况下，两个电容器的电压相同，功率之比为3.2.3答案：(1)偶极子受到的力矩的大小为最大转矩为时(2)从偶极子不受力矩的方向受到最大力矩的方向，即从0开始，电场作用的功能3.4.1答案：图为均匀的电介质圆板的主视图，圆板被均匀地极化，因此仅在电介质圆板的边缘存在极化面电荷，弧长为厚度较厚的面要素面积，下的极化面电荷密度为根据对称性，极化电荷在圆板中心产生的电场强度仅存在成分，位于的极化电荷在圆板中心产生的电场强度的成分全极化面电荷在圆板中心产生的电场强度的大小将电场强度写为矢量：3.4.5答案：(1)根据电容器的定义代入数据，(2)金属板内壁的自由电荷(绝对值)为(3)放入电介质后，电压下降时，电容器c(4)两板间的原电场强度的大小为(5)放入电介质后的电场强度的大小(6)电介质与金属板边界面上的极化电荷的绝对值，由于极化电荷与自由电荷反转然后呢(7)电介质相对介电常数为3.4.6答案：型腔面的法线取法线方向的单位矢量，建立直角坐标系，矢量直径r和z轴的角度，球面上的极化电荷面密度由以上公式可知，紧贴球形腔表面介质上的极化电荷面密度不均匀，极化电荷面密度的左侧为正，右侧为负，球面上的坐标为()时的面要素面积为该面元上极化电荷量由球心激励的电场强度的方向由单位向量表示，其中源极点指向场点根据对称性，由于极化电荷在球心电场强度的方向上沿着z轴方向，因此电场强度的z分量、即因缘故得3.5.1答案：由于在导体板的内表面均匀分布有自由电荷，因此导体板的法线方向朝下在媒体1的主板上在媒体2的板块上如图所示，接近上导体板位置的极化电荷面密度接近下导体板处极化电荷面密度两电介质板间极化电荷面密度或者3.5.3答案：(1)电介质板用“2”表示，其馀空气空间用“1”表示，单位箭头方向从高电位向低电位，两极板间电位差(绝对值)为(1)无论是空间1还是空间2，由于电位移矢量相等得(2)在(1)式中代入(2)式写向量能解开(2)极板上的自由电荷的电荷量(绝对值)为(3)由于极板和电介质间隙中(空气中)电场强度(4)电容器须3.5.9答案：(1)将r作为半径、长度作为一个单位，作为与导线同轴的圆柱体，将圆柱体的表面作为高斯面，求出介质中的电位移矢量电场强度极化强度矢量为(2)两极电位差u为(3)在半径和场所，电介质表面极化电荷面密度分别为3.7.1答案：如果有玻璃板，则电容器容量为如果放开玻璃板，电容器容量(1)电容器始终与直流电源连接时，电压u不变。拉出玻璃板时电容器的能量拔掉玻璃板后电容器的能量两者之比(2)用直流电源对电容器充电后，切断电源后取出玻璃板，电荷量不变事故两者之比3.7.2答案：来自球心r电位移矢量和电场强度分别为，介电体内任意点的能量密度4.4.7答案：的分支路由于引线短路，因此施加于与