铁路桥涵过渡段的讨论

铁路桥涵过渡段的讨论一、概述 随着设计标准的提高，现国铁级铁路也要求设置桥涵过渡段，这样“过渡段”设计已成较普遍的要求。 客专和国铁、桥涵的过渡段设置长度L一般在20m左右，大多数情况下，在这范围内地形变化应该不大，线路纵坡的变化也有限，所以可以将地面和路基面在这20m左右的范围内视作相互平行的水平面。 以往桥台台背后或涵洞边墙后的路基过渡段常采用二种型式，即所谓“正梯形”过渡段（TB10001-2005“路规”）和“倒梯形”过渡段（TB10621-2009“高铁”）。这二种过渡段的空间展布见“图1过渡段示意图”。 根据图1绘制的下图2即分别为正、倒梯形过渡段的平面图： 由图1和图2综合分析，正梯形过渡段更形似棱台，但并不一定就是数学意义上所定义的棱台，因为这二个平行的顶、底面矩形并不一定是“相似形”（若确实相似或均为正方形或圆形，则为四棱台或圆台）。故求其体积就不能贸然采用棱台公式，而应采用所谓的“梯形体”求积公式，或者将正梯形过渡段这一六面几何体分割成若干个最基本的棱柱、棱锥体求积再求和。 但是图2右侧的倒梯形过渡段外形就很不一样，用棱台体积公式显然不行，能否用“梯形体”公式，则应加以证明的过程。若将它分割成若干个最基本的棱柱、棱锥体求积再求和则是最可靠的办法。二、四棱台和梯形体 为讨论比较的方便，在此将棱台或梯形体顶、底面顺线路方向的边长分别标记为a1和a2，而横断面方向的边长分别标记为b1和b2；二平行顶、底面间的距离（高）标记为h。 由此，顶、底面的矩形面积分别为F1=a1b1和F2=a2b2。 棱台的体积公式：V棱=13h（F1+F2+F1F2 (1) 至于“梯形体”的体积公式之推导，据有关资料介绍是先将梯形体切割成中间矩形体（四棱柱）、四边三棱柱、四个角上为四棱锥，分别计算这九块体积 然后相加。所得体积公式为： V梯=16ha1b1+a2b2+a1+a2b1+b2（2） 为便于相互比较，现将（1）和（2）二式分别变化如下： V棱=13h（a1b1+a2b2+a1b1a2b2 =16h(2a1b1+2a2b2+2a1b1a2b2(3) V梯=16h（a1b1+a2b2+a1b1+a1b2+a2b1+a2b2) =16h(2a1b1+2a2b2+a1b2+a2b1) （4） 对比（3）和（4），不难看出二者的区别在于括号内(3)式的“2a1b1a2b2”项和（4）式内的“a1b2+a2b1”项。 根据数学中的“绝对不等式” a+b2ab （a和b均为正值） 即 a+b2ab 将a1b2和a2b1分别设定为a=a1b2和b=a2b1，则应 a1b2+a2b12a1b1a2b2（5） 该式“”中的“=”情况，只有a1b2=a2b1时才能成立，亦即a1a2=b1b2，其顶、底面为相似矩形时（5）式才能相等，进而（3）式=（4）式。此时，该六面体实际上已为棱台，所以“梯形体”体积公式（4）或（2）中包括了“四棱台”这一特殊情况。 若a1b2a2b1，则a1b2+a2b12a1b1a2b2，说明该“梯形体”虽形似棱台而实非棱台的六面体，若误用棱台公式来求其体积的话，则较该“梯形体”本来应有的体积肯定偏小（前述已予证明），且顶、底面对应边比值相差越大，其体积差值也越大。三、过渡段体积 根据前图2中的两种情况，分别推导如下。1 正梯形过渡段按图中的11，22，33垂直三刀切割下去后，结合图1可得到如下四块几何体： 梯形棱柱块 V1=b1+b22ha1 三角形棱柱块 V2=(a2-a1)2hb1 二个底面为矩形的四棱锥合成一个大四棱锥 V3=h3b2-b1（a2-a1） V正=12b1+b2ha1+12a2-a1hb1+13hb2-b1（a2-a1） =16h3a1（b1+b2）+3b1a2-a1+2b2-b1a2-a1 =16h3a1b1+3a1b2+3a2b1-3a1b1+2a2b2-2a1b2-2a2b1+ 2a1b1 =16h2a1b1+a1b2+a2b1+2a2b2 =16ha1b1+a2b2+a1（b1+b2）+a2（b1+b2） =16ha1b1+a2b2+（a1+a2）b1+b2 (6) 2.倒梯形过渡段 按图2右图中的和正梯形相当位置的三刀，结合图1可看到，梯形棱柱块和三角形棱柱块与正梯形一样，只是剩下的二块与正梯形不一样而为三角形三棱锥。 梯形棱柱块 V1=b1+b22ha2 三角形棱柱块 V2=(a1-a2)2hb1 2个三角形棱锥块 V3=213b2-b1212(a1-a2)h=16(a1-a2) b2-b1h V倒=16h3a2b1+3a2b2+3a1b1-3a2b1+a1b2-a1b1-a2b2+a2 b1 =16ha2b1+2a2b2+2a1b1+a1b2 （其后运算步骤同正梯形） =16ha1b1+a2b2+(a1+a2) b1+b2 （7） 小结： 在本文之二、中开始一段黑体字所述的标注规定下，根据铁路过渡段这一具体的六面几何体进行分割求其体积所演算出来的计算式，即（6）式的正梯形V正和（7）式的倒梯形V倒均和有关资料中的“梯形体”体积公式一致。 四、铁路过渡段的具体计算 前述各式中，如果a1、b1、a2、b2和h已各为某一确定数值，则不论正梯形或倒梯形过渡段，代入（6）或（7）任意一式即可得其体积。但这里要特别注意文中黑体字的对矩形“边”的标注约定。 但上述情况少见，通常是仅输入过渡段顶面宽度b、台背（或涵洞边墙背）的过渡段填高h、台背后的常数段a（桥3，涵）、斜坡段的坡率1：n（高铁桥n2，高铁涵和、级桥涵可为2），需要的还有过渡段的边坡率1：m（m一般取1）。进一步的运行则由程序完成，程序如何来执行这一任务呢？为此必须将上述起始输入数据，根据相应关系代入三、之（6）式和（7）式中。1 正梯形过渡段的具体计算将：a=a1，b=b1；a+nh=a2，b+2mh=b2 代入（6）式。V正=16hab+（a+nh）（b+2mh）+（2a+nh）(2b+2mh) =16hab+（a+nh）(b+2h)+( 2a+nh)( 2b+2h) (m=1时) =abh+ah2+bh2+h (m=1时) （8） 矩形 正方形 棱柱 棱柱 棱柱 四棱锥 常数a段范围 1：n斜坡段 2.倒梯形过渡段的具体计算 将：a+nh =a1，b =b1；a =a2，b +2mh=b2 代入（7）式。 V倒=16h（a+nh）b+a（b +2mh）+（2a+nh）(2b+2mh) =16hba+nh+a（b +2h）+（2a+nh）(2b+2h) （m=1时） = abh+ ah2+bh2+1h (m=1时) （9） 同正梯形 三棱锥 由此可见，（6）、（7）两式，虽然形式一样，但将顶、底面对应的各自边长输入后，所得的（8）式V正和（9）式V倒就不一样。而（8）、（9）两式的下注同时表明，其实也可以不管（6）、（7）式和“梯形体”的体积公式，直接对过渡体分割成基本的几何体棱柱、棱锥再总和即可。 （8）式和（9）式可为铁路过渡段具体计算时的基本计算式。 代所长提供资料中的倒梯形过渡段体积表达式为： V倒=a1b+b12+hh（2b+b1）3 (10) 按照本文的约定，该式中的a1即本文中的过渡段顶宽b，而b应为常数段a，b1 即为过渡段长L应为a+nh，将这些变换代入（10）式得： V倒=12ba+a+nhh+13h2(2a+a+nh) (11) =12a+a+nhhb+ah2+13nhh2(11) 下底 上底 棱锥 棱柱体积 体积 倒梯形面积 高（高为a） （高为nh） 中间倒梯形棱柱体体积 与（11）式相应的切割法似应右图所示。 为与（9）式对比，将(11)式进一步展开分解成多项式： V倒=abh+12nbh2+ ah2+13nh3 结果相同，仅为（9）和(11)两式表达形式不一样。这也说明，对于同一个多面几何体，不管如何将它分解成若干个棱柱、棱锥体再总和，只要在不同的切割方法中没有遗漏，那么其结果则是一样的。五、台背（墙背）后的过渡段顶面宽b 无论单线或双线，过渡段的顶宽b应由路堤的线路中心线（轨道中心线）向左、右二侧进行控制。 过渡段的顶宽确定可循应力扩散的贯常方法来考虑，因此确定顶宽的影响因素有：砼底座或轨枕的长度、基床表层厚度、双线时的线间距、轨道中心线外的路基面半宽、控制性的轨下枕底道床厚度、各横向排水坡坡率等。 为避免分类过多，对有些影响因素进行了概化处理：双线时的线间距高铁均取5.0m（4.65.0m）、级取4.2m（44.2m），、级（轻型除外）铁路的轨道中心线外路基面半宽单线取3.95m（7.97.0）、双线取4.05m（8.17.2），、级铁路的控制性轨下枕底道床厚度均取0.5m（0.50.4）。此外，高铁砼底座的底面视为水平面、轨距1435视为轨中轨中、枕端应力扩散未考虑受力面的4%斜度影响。前者的数据概化处理是偏于保守的，只是当实际情况（如线间距）大于概化值较多时则应另行计算。而后者未细加考虑的几个因素，则对计算结果影响较小，推荐的半宽值b中足以包含。 根据上述条件分成七种情况计算汇列于下表。注：1. h为横向构筑物顶面填土厚度。按通常的做法铁路的填土高度均以路肩设计标高为准，故文内的h由路肩设计高度和涵洞外顶面的高度差确定； 2.涵洞的轴向纵坡视为平坡。丘陵、山区的陡坡涵洞应另专门考虑。根据铁路等级和便于施工似可对表中七种情况进一步加以归纳，提出如下的过渡段顶宽采用值建议表：注：当h2.0m时，若超过值为h，此时的b值原则上可按b=4.0+h（高铁）或b=4.1+h（、）确定。过渡段顶面的实际宽度： 单线：b=2b 双线：b=2b+线间距 过渡段顶面的高度位置（台背后）： 桥和h1.0m的涵洞：原基床底层的顶面1.0mh2.0m的涵洞：平涵洞的外顶面过渡段的长度（a+nh）除“高铁”的桥梁有20m的明确要求外，其他情况均无此要求。但应注意的是，仅当“高铁”涵洞的涵顶填土h1.0m时涵顶和边墙后的20m范围之基床表层级配碎石应渗5%水泥，而h1.0m的、级铁路涵似可参照。六、过渡段的型式选择 过渡段的型式选择应由其综合性能的比较来决定。1. 刚度的过渡性能 在倒梯形过渡段的情况下，列车轮对一旦进入斜坡过渡段的尖端区即能“感受”到刚度的变化，尽管这种变化尚小；而正梯形的尖端区在底部，很难让轮对能有刚度有所变化的及时“感受”。设列车长度为500m，客专车速250km/h，则全列车通过A点约7.2秒；若车速为120km/h则历时也就15秒；加之各轮对均有不等的纵向间距，这7.2秒或15秒并非A点受力的持续时间，所以时断时续的瞬间似不宜使正梯形过渡段尖端区的过渡效应发挥出来。基于上述分析，当轮对一旦进入倒梯形过渡段后，它的刚度趋大渐变过程是明晰的、是缓变的；而正梯形刚度的线性趋大，可能存在不确定性。2. 过渡料的使用量过渡段使用的过渡填料，根据铁路等级各有其具体要求，故其料价一般会高一些。根据本文第四部分的讨论，在相同前提下，倒梯形过渡段的体积要较正梯形过渡段小，故倒梯形能少用过渡料（节省料差）。3.丘陵、山区等斜坡地段上的桥台或涵洞，正梯形过