北师大版小学数学小升初衔接班精品教案(教师版)——第六课时：有理数及其运算(相反数和绝对值)

第六次课：有理数及其运算北师大版小学六年级数学暑期小升初衔接班精品教案【即将升入七年级的你又将开始新学期的学习，这里是梦想起航的地方，这里是求知的热土，这里是你成才的摇篮。孩子！请静下心来，和老师一起探讨，认真思考，积极回应，勇于开拓，成功必将属于优秀的你！加油！】考点、热点和难点总览1.3：相反数和绝对值1. 相反数定义只有符号不同的两个数叫做互为_相反数_，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是_0 _。注意：相反数是_成对 _出现的；相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负；0的相反数是它本身,相反数为本身的数是0。2. 相反数的性质与判定1 何数都有_相反数_，且只有一个；2 0的相反数是0；3 互为相反数的两数和为_0_，和为0的两数互为_相反数_。3. 相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于_原点 _对称。4. 相反数的求法求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)5. 相反数的表示方法一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。当a0时，-a0（正数的相反数是负数）当a0（负数的相反数是正数）当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）6. 多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。7. 绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的_绝对值 _，记作|a|.8. 绝对值的代数定义1 个正数的绝对值是它_本身_；2 个负数的绝对值是它的_ 相反数_；3 0的绝对值是_0_。可用字母表示为： 果a0，那么|a|=_ a_； 果a0，那么|a|=_ -a_； 果a=0，那么|a|=_ 0_.可归纳为：a0，|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）a0|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）9. 绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有_非负性_。所以，a取任何有理数，都有|a|_0。即（1）0的绝对值是0；绝对值是0的数是0，即：a=0 |a|=0；（2）一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是_0_.即：|a|0；（3）任何数的绝对值都_不小于_原数。即：|a|a；（4）绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a0），则x=a；（5）互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；（6）绝对值相等的两数_同时为0_或互为_相反数_。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；（7）若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就_相等_。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）10. 有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。11. 绝对值的化简 a0时，|a|=a； 当a0时，|a|=-a12. 已知一个数的绝对值，求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。完全攻克典型例题1. 相反数【例1】3的相反数是（B）A.3 B.3 C.3 D.【例2】（2015理工附期中）如果3是a3的相反数，那么a的值是（A）A0B3C6D62. 绝对值的性质【例3】(1)已知，且，那么 2 (2)已知是有理数，且，那么 -7 （3）已知，那么_2_ （4）非零整数、满足，所有这样的整数组共有_16_组3. 相反数和绝对值的综合【例4】若，则等于（）分析与解：“任意有理数的绝对值一定为非负数”利用这一特点可得；而两个非负数之和为0，只有一种可能：两非负数均为0则，；，故【例5】（2015年鸿育中学期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为1，则A与B两点间的距离可表示为 分析：点B表示的数为1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？ 结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。 当x-1时，距离为-x-1, 当-1x0，距离为x+1综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为答案：相等 【例6】计算意外收获过手训练练1、（2015人大附期中）x+yz的相反数是（B）Ax+y+zBzxyCxy+zDx+yz练2、（15清华附期中）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（A）A点A与点DB点A与点CC点B与点DD点B与点C练3、（2015年聚萃双语中学期末）若（a3）是负数，则a3是 正数 ，若（a+b）是负数，则a+b是 负数练4、计算：（）=练5、（2015年上海模拟）若|2x|=2x，则x一定是（D）A正数B负数C正数或0D负数或0练6、（2015年人大附中学期中）有理数a，b，c满足|a+b+c|=ab+c，且b0，则|ab+c+1|b2|的值为a+c1 练7、满足的的取值范围为 分析： 同理表示数轴上x与-1之间的距离，表示数轴上x与-4之间的距离。本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x-1。练8、结合数轴求得的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 _.分析：即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。如图，x在数轴上的位置有三种可能：图2符合题意图1 图2 图3答案：5 -3x_2_ 练9、（2015年一零一中学期中）计算：|3.14|+|3.15|= 0.01练10、已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x0，y0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即 x0，y0，y0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12练11、x为何值时，|x3|+|x+2|有最小值，求出这个最小值分析：画出一个数轴，那么|x3|+|x+2|表示的就是数轴上任意一点到2和3的距离之和，显然，当该点在2与3之间时可以得到最小值5解答：如图所示：当x2时，就是2x+3x=2x+55，当x3时，距离之和为x+2+x+35，当2x3|x3|+|x+2|有最小值=3x+x+2=5练12、当a取何值时，|a+4|+|a1|+|a3|有最小值分析：分类讨论：a4，4a1，1a3，a3，根据负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值等于它本身，可化简绝对值，根据有理数大小比较，可得答案、解答：当a4时，|a+4|+|a1|+|a3|=a4a+1a+3=3a12，当4a1时，|a+4|+|a1|+|a3|=a+4a+1a+3=7a6当1a3时，|a+4|+|a1|+|a3|=a+4+a1a+3=6+a7当a3时，|a+4|+|a1|+|a3|=a+4+a1+a3=3a9综上所述：当a=1时，|a+4|+|a1|+|a3|最小值=6能力测试当堂检测1. 已知4a1与（a+14）互为相反数，求a的值 a=52. 已知4a6与6互为相反数，求a的值 a=33. 已知M是6的相反数，N比M的相反数小2，则MN= -10 4. 化简：（+8）= 8 5. 已知2x与6互为相反数，求x的值 x=36. 若|x|=4，|y|=3，且xy，求x、y的值 解答：|x|=4，|y|=3 x=4或4，y=3或3 又xy x=4，y=3或37. 若有理数x、y满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y，求xy的值解答：|x|=5， x=5， 又|y|=2， y=2， 又|x+y|=x+y， x+y0，x=5，y=2， 当x=5，y=2时，xy=52=3， 当x=5，y=2时，xy=5（2）=78. 若|a|=4，|b|=1，（1）求a+b的值 （2）若|a+b|=a+b，求ab的值解答：（1）|a|=4，|b|=1， a=4，b=1，a=4，b=1时，a+b=4+1=5， a=4，b=1时，a+b=4+（1）=3，a=4，b=1时，a+b=4+1=3， a=4，b=1时，a+b=4+（1）=5，综上所述，a+b的值为3，5；（2）|a+b|=a+b，a+b0， a=4，b=1或a=4，b=1， ab=41=3， 或ab=4（1）=5 所以，ab=3或5再次提高课后习题1、一个数的相反数是最大的负整数，那么这个数是 ( B )A B1 C0 D2、数轴上表示互为相反数与的点到原点的距离是( C ) A. 表示数的点距原点较远 B. 表示数的点距原点较远 C. 相等 D. 视的取值情况而定3、 在一个数前面加一个“-”就可以得到一个( A ) A. 原数的相反数 B. 非负数 C. 非正数 D. 负数 4、 下列叙述中不正确的是( C ) A. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数 B. 和原点距离相等的两个点所表示的数一定是互为相反数 C. 符号不同的两个数互为相反数 D. 两个数互为相反数，这两个数有可能相等5、-（+5）是 5 的相反数，即-（+5）= -5 ；-（-5）是 5 的相反数，即-（-5）= 5 6、任何一个 负数 的相反数都是正数；任何一个 正数 的相反数都是负数；0的相反数是它本身7、_正数_大于它的相反数；_负数_小于它的相反数8、如果是互为相反数，则 69、若，则m= 1/3 10、|3|等于 ( A )A.3 B.3 C. D.11、下列说法错误的是 （ D ） A. 一个正数的绝对值一定是正数 B. 一个负数的绝对值一定是正数 C. 任何数的绝对值都是正数 D. 任何数的绝对值都不是负数12、 在数轴上表示任何一个有理数的绝对值的点的位置，只能在数轴上的（ D ） A. 原点及原点左边 B. 原点右边 C. 原点左边 D. 原点及原点右边13、 一个有理数的绝对值等于本身的数有（ B ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个14、 下列等式成立的是（ C ）A|a|-a|= 0 B-a-a=0 C|a|-|-a|=0 D-a-|a|=015、 下列说法正确的是（ B ） A. 在所有的负数中，-1绝对值最小 B. 0是绝对值最小的有理数 C. 既没有绝对最小的有理数也没有绝对值最大的有理数 D. 绝对值最小的整数是116、已知为有理数，且，那么与的大小关系是