青岛市城阳区2018届高三期末考试(数学理)

1 第一学期学分认定考试 高三数学(理)试题 201801 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3填空题和解答题的作答：第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答。答案必须写在答 题纸指定区域；如需改动，先划掉原来的解答，然后再写上新的解答；不准使用涂改液、胶带 纸、修正带写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题 卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 公式：1线性回归方程的系数公式 ybxa 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx 2独立性检验统计量 2 2 n adbc Knabcd abcdacbd ，其中 3临界值表： 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1z 为虚数，i 为虚数单位，若12ziiz，则 A B C D1i1i1i 1i 2已知集合 2 log12 , x R AxR yxBy yxAC A，集合，则 B A B CD2， 1 4 2 ，2 ，12， 3已知，则 3 cos, 252 tan3 AB C D 3 4 4 3 3 4 4 3 4阅读右侧框图，输出的结果为 A B CD 9 10 10 11 11 12 109 110 2 5在平面直角坐标系中，动点，则 z 的最大 10 ,20, 40 x P x yxy xy 满足： 1 3 log2zxy 值为 A0BC1D 3 log5 3 log7 6已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 3，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 A2 B3 CD23 7已知 P 是所在平面内一点，且满足，现将一粒黄豆随机撤在ABC20PBPCPA 内，则黄豆落在内的概率是ABCPBC A B CD 1 3 1 4 1 2 2 3 8三棱锥平面ABC，底面,PABC PC,ABCACBC ACBC中，2 的外接球的表面积为4PCPABC，则 ABCD288964824 9已知函数对称中心和最近的对称轴之间的距离为，将 2 2sin1 4 f xx 4 图象向左平移个单位，所得新函数的解析式为 f x 6 g x A. B. sin 2 3 yx sin 2 6 yx C. D. 2 sin 4 3 yx 1 sin 26 yx 10抛物线的焦点恰好是双曲线的实轴端点，又双曲线的离心率为 2， 2 4yx 2 2 1 x ny m 则实数n的值为 A1 BCD 1 3 3 1 3 11已知角 C 是 4sin ,2 3 cossin,cos ,cossin,axxxbxxxf xa b A 中的锐角，且，则角 C 的值为ABC 0f C A BC D 6 3 2 3 5 6 12已知集合， 2 ,2,Px yyxxyRQx yyxm xyR 、，、 若，则实数 m 的取值范围是PQ 3 ABCD2 2,2 2,2 2,2 2,2 2 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 13已知向量的夹角等于_1,222ab abab bab A和，则，则和 14已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题：, ,m n 若；若的必要条件；/ / ,mn n，则m / /,mnn，则m是 若,/ /mnmn，则 其中错误命题的序号是_(把所有错误命题的序号都填上) 15已知函数，则实数 m 的取值范围是_. 2 21,213 x f xxfmf且 16已知，则二项式展开式中的常数项为_ 1 1 e adx x 6 2 a x x 三、解答题：共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤 第 17 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求选 择其一解答 17(本小题满分 12 分)已知 Sn是数列的前 n 项和，其中. n a323 n n S nN (I)求数列的通项公式； n a ()数列为等差数列，为其前 n 项和，的最值 n b n T 25113 , n ba bS，求T 18(本小题满分 12 分) 某校成立了数学奥赛集训队，男女同学共 20 人，对男女队员历次模拟平均成绩分布情况统计 如下表： (I)历次模拟平均成绩在 70 分以上的认为是“具有潜力”的选手，否则认为“不具潜力” 请运用独立性检验的知识，对男女两个分类，针对是否具有潜力填写下列 4*4 列联表，请计算 K2的观测值，并对照以下临界值表，分析说明是否有 95的把握认为是否具有潜力与性别有 关 44 列联表 ()教练计划从模拟平均成绩在的所有队员中抽出 3 名同学去参加比赛，80,100 4 (i)记 3 名同学中男女生都有为事件 A，求； P A (ii)设其中的女生数为，求的分布列和数学期望 19(本小题满分 12 分) 已知 ABCD 为直角梯形，AD/BC，ADC=BCD=90，PD平面 ABCD，PD=AD=2BC=4，平面 PAD 与平面 PBC 所成的二面角的平面角为，且，M 是 BC 的中点 1 tan 2 (I)求证：平面平面 PDM；PAC ()求三棱锥的体积BPAC 20(本小题满分 12 分) 已知平面直角坐标系内，A，B 两点分别在 x 轴和 y 轴上运动，线段 AB 的长为定值 2， 是动点，且；直线 l 为过定点的动直线,P x y2OPOAOB 1,0B (I)求动点 P 的轨迹 C 的标准方程； ()设直线l与轨迹 C 交于 M、N 两点，求面积 S 的最大值，并求出此时直2,0QQMN 线的方程 21(本小题满分 12 分) 已知 2 21 lnf xaxaxaR x ，其中 (I)分析判断函数在定义域上的单调性情况； f x (II)若，证明：方程上没有零根 1 0a e 2 21 ln01axaxe x 在区间， (其中 e 为常数，e 约为 2.7182) 山东中学联盟 5 请考生在第 22，23 两题中任选一道作答。注意：只能做所选的题目如果都做，则按所做的 第一题计分。作答时请用 2B 铅笔在答题卡时将所选题号后的方框涂黑 22 【选修 4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分) 在以 O 为原点，以 x 轴正半轴为极轴的坐标系中，曲线的方程为：；在 1 Ccos1 3 平面直角坐标系，曲线的方程为(其中为参数) 13xoyA中，点， 2 C 23cos 3sin x y (I)把曲线化为普通方程，说明所表示的曲线是什么；把点 A 用极坐标表示出来； 1 C ()求点 A 到曲线上点的最小距离；判断和的位置关系，如相交，求出相交弦的长 2 C 1 C 2 C 23 【选修 45：不等式选讲】(本小题满分 10 分) 已知函数 231f xxax (I)设，解不等式；1a 1f x ()设，若不等式对任意实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围2a 2 26f xmm 6 第一学期学分认定考试 高三数学（理）参考答案及评分标准高三数学（理）参考答案及评分标准 2018.012018.01 公式: 1.线性回归方程的系数公式 ybxa 1 22 1 n ii i n i i x ynx y b xnx 2. 独立性检验统计量,其中 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd nabcd 3. 临界值表: 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.1. BDCBA 6-10ACDAD 11-12 B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分分 1313 1414 15.15. 1616 2 3 12m 60 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤解答时应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤 第第 1717 题题2121 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 2222、2323 题为选考题，考题为选考题，考 生根据要求选择其一解答生根据要求选择其一解答 1717 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 解：() 由3 23 n n S （i）当时，1n 1 11 3*233aS (ii)当时，2n （*） 111 1 (3 23)(3 23)3 (22)3 2 nnnnn nnn aSS 其中，时，也满足（*）式1n 1 3a 所以，对任意，都有6 分 * Nn 1 3 2n n a ()设等差数列的首项为，公差为， n b 1 bd 5 1 25 3 248ba 3 113 3 2321bS 由等差数列的通项公式得，解得 21 111 48 1021 bbd bbd 1 51 3 b d 所以9 分543 n bn 2 ()P Kk 0.250.100.050.0250.0100.005 k 1.3232.7063.8415.0246.6357.879 7 可以看出随着的增大而减小, n bn 1 510b 令，解得,0 n b 18n 所以有最大值，且（或）为前项和的最大值 n T 18 T 17 Tn n T 12 分 118 18 18() 9(51 0)459 2 bb T 1818 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 解：() 列联表4*4 具有潜力不具潜力总计 男生93 12 女生7 18 总计16 420 3 分 由公式的观测值 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 K 2 0 20(921) 16 4 12 8 k 计算结果约为5 分0.4682.706 无关的可能性至少,0.1 所以没有的把握认为是否具有潜力与与性别有关6 分95% () 模拟平均成绩在的所有队员共名,其中男生名,女生名(80 100，1064 (i) 从中任意抽出 名同学的方法总数为种103 3 10 C 名同学去参加比赛男女生都有的方法为3 333 1064 CCC 由等可能性事件的概率, 333 1064 3 10 964 ( ) 1205 CCC P A C 所以 名同学中男女生都有的事件的概率8 分3A 4 ( ) 5 P A (ii) 女生数的值可为0,1,2,3 3 6 3 10 201 (0) 1206 C P C 21 64 3 10 601 (1) 1202 C C P C 12 64 3 10 363 (2) 12010 C C P C 3 4 3 10 41 (4) 12030 C P C 8 所以的分布列为 0123 ()pk 1 6 1 2 3 10 1 30 的数学期望为12 分 1131 0*1*2*3*1.2 621030 E 1919 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 解: ()过作直线,则P/lDA/lBC 平面,平面l PADL PBC 所以 是平面与平面的公共交线1 分lPADPBC 由,DPAD DCAD 易得,DPl PCl 所以即为平面与平面所成的二面角的平面角DPCPADPBC 所以3 分(其他方法,如向量求解,参照给分即可)DPC 中PDCAPDCRT 所以 1 tan 42 DCDC PD 所以4 分2DC 以为坐标原点,分别以所在射线为轴,建立D,DA DC DP, ,x y z 空间直角坐标系如右图所示 ,为中点4,2,/DADCADBCMBC 可得(0,0,0), (4,0,0),(0,2,0),(1,2,0)DACM 所以 (只设平面直角坐标也可以)(1,2,0),( 4,2,0)DMAC 所以.(1,2,0).( 4,2,0)0DM AC 所以在底面内,直线6 分DMAC ACDM 因为(平面)DMPDPD ABCD 所以可得:平面AC PDM 又平面AC PAC 根据面面垂直的判定定理 所以平面平面7 分PAC PDM () 三棱锥的体积等于三棱锥的体积BPACPABC 10 分 11 2422 42 22 ABCADCABCD SSS AA梯 （） 平面PD ABC M y y x C 第 19 题解答图 D B A P P M C 第 19 题 图 D B A 9 所以12 分 118 2 4 333 B PACP ABCABC VVSPD A 2020 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 解: ()设 11 ( ,0), (0,)A xBy 由题意, (*) 222 11 |4ABxy 因为,即 2OPOAOB 1111 ( , )2( ,0)(0 ,)( 2 ,)xyxyxy 所以,所以(1) 1 1 2xx yy 1 1 2 x x yy 将(1)代入(*)式可得: ,即 22 4 21 xy 22 1 84 xy 所以动点的轨迹的标准方程为5 分 PC 22 1 84 xy () （i）直线 斜率不存在时,直线为 l1x 此时易求得(*) |14MN （ii）当直线 斜率存在时,设斜率为,过,点在椭圆内,直线和椭圆恒有交 lk ( 1,0)B 点 直线为 (1)yk x 联立直线和椭圆的方程, C 22 (1) 28 yk x xy 整理得到:.6 分 222 (12)270(1)kykyk 得: 12 2 2 12 2 2 12 7 12 k yy k k y y k 所以(*)7 分 42 42 22 111111 22 22 4 56() 5632 7 ()()4 1 (21) 4() 2 kk kk yyyyy y k k 令,得,则则 2 1 2 tk 1 2 t 2 1 2 kt 10 代入(*)式,得: 422 2 11 2 22 4141 56()14()() 7272 () 1 4() 2 kktt yy t k ,为关于 的二次函数 2 3 11 1 141( )( ) 728tt 1 t 而,根据二次函数的图象性质,对称轴为,开口朝下,可得 1 02 t 6x 2 11 0()14yy 所以10 分 11 0 |14yy 对比(*)式,可知,当直线斜率不存在时有最大值 11 |yy14 所以此时 113 14 |.|143 222 MN SyyQB 即: 的面积的最大值为,此时直线为12 分QMNAS 3 14 2 1x 2121 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） ()解：函数的定义域为 2 ( )(21)lnf xaxax x |R|0x xx 又 2 2212 ( )()(21)(ln )( ) a fxaxaxa xxx 1 分 2 22 (21)2(1)(2)axaxaxx xx (1)当时则 0a 2 (2) ( ) x fx x 可以看出，当时，；当时，； 2x ( ) 0fx 02x ( ) 0fx 所以，时，函数在区间上单调递减；在上单调递增2 0a ( )f x(0,2)(2,) 分 (2)当时， 0a 22 1 ()(2) (1)(2) ( ) a xx axx a fx xx (i)若，则，当时，；当时， 0a 1 0 a 1 02 a 02x ( ) 0fx 2x ( ) 0fx 11 所以得时，在上单调递增；在上单调递减； 0a ( )f x(0,2)(2,) （ii）若,则，解不等式，得或 1 0 2 a 1 02 a 2 1 ()(2) 0 a xx a x 02x 1 x a 解不等式，得 2 1 ()(2) 0 a xx a x 1 2x a 所以得：时，函数在区间上单调递减；在区间 1 0 2 a ( )f x 1 (2,) a 上分别单增. 1 (0,2),(,) a (iii)当时，在定义域上，总有 1 2 a 2 2 2(2) ( ) x fx x (0,) 2 2 2(2) ( )0 x fx x 所以此时，在定义域上，函数恒为单调递增函数 (0,)( )f x （iv）当时，解不等式，得或； 1 2 a 1 02 a 2 1 ()(2) 0 a xx a x 1 0 x a 2x 解不等式，得； 2 1 ()(2) 0 a xx a x 1 2x a 所以，当时，得函数在和上分别单调增；在单调递 1 2 a ( )f x 1 (0,) a (2,) 1 (,2) a 减； 5 分 综上，当时，在上单调递增；在上单调递减； 0a ( )f x(0,2)(2,) 当时，函数在区间上单调递减；在上单调递增； 0a ( )f x(0,2)(2,) 当时，函数在上单调递减；在上分别单增. 1 0 2 a ( )f x 1 (2,) a 1 (0,2),(,) a 当时，在定义域上，函数恒为单调递增函数 1 2 a (0,)( )f x 12 当时，函数在和上分别单调增；在单调递减. 1 2 a ( )f x 1 (0,) a (2,) 1 (,2) a 6 分 () 证明： 因为，所以 1 0a e 1 (0, ) 2 a 由()得，此时函数在上单调递减；在上分别单增. ( )f x 1 (2,) a 1 (0,2),(,) a 列出在上单调性情况分析如下表： ,x y y1, e x1 (1,2) 2 (2, ) e e y 0 y 单调递 增 极大值单调递 减 由图可以看出，函数单调递增；时，函数单调递减； (1,2)x(2, )xe 当时，函数取得极大值，也是最大值， 2x 9 分 max (2)2(21)ln2 1yfaa 因为，所以；又 1 0a e 21a 210a (21)ln20a 所以恒成立 max (2)2(21)ln2 10yfaa 由此，在上，恒成立11 分 1, e( )0f x 根据连续函数根的存在性，方程在上，不可能有根存在12 分 ( )0f x 1, e 请考生在第请考生在第 22,2322,23 两题中任选一道作答。注意：只能做所选的题目两题中任选一道作答。注意：只能做所选的题目. . 如果都做，则如果都做，则 按所做的第一题计分。作答时请用按所做的第一题计分。作答时请用 2B2B 铅笔在答题卡时将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡时将所选题号后的方框涂黑. . 2222 选修选修 4-4:4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 （本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 解: () 曲线的方程为: 1 C cos()1 3 展开,即, (coscossinsin)1 33 13 cossin1 22 由可得 cos sin x y 13 ,也即 13 1 22 xy 320 xy 所以曲线的方程为 1 C320 xy 为过的直线3 分 (2,0) 设 ( , ),02 ,0A 因为点,得 (1, 3 )A|3 12OA tan3 所以,所以点的极坐标为5 分 3 A (2,) 3 A () 曲线的方程为 2 C 23cos 3sin x y 整理得 22 (2)9xy 表示以为圆心,以 为半径的圆 ( 2,0) 3 点到圆心的距离为 ( 1, 3)A 2 932 33AC 所以点在圆外,点到圆上的点的距离有最小值 AAd 且7 分 min |2 33dACR 所以曲线的方程为 1 C320 xy 由点到直线的距离公式,计算出圆心到