数学的魅力_8. 一元n次方程求根公式

一元一元n次方程求根公式次方程求根公式 一元一次方程的求根一元一次方程的求根: 0,0axba b x a 一元二次方程的求根一元二次方程的求根: 2 0,0axbxca 2 4 2 bbac x a 1212 , bc xxx x aa 求根公式求根公式 Viete公式公式 约约2000BC:古巴比伦数学家可求解古巴比伦数学家可求解1元元2次方程次方程 约约480BC:中国数学家用配方法求具体方程的根中国数学家用配方法求具体方程的根, 但是没有给出通用解法但是没有给出通用解法. 约约300BC: Euclid给出几何解法给出几何解法. 628年年: 印度数学家印度数学家Brahmagupta给 出求根公式 给 出求根公式 一元三次方程求根一元三次方程求根 中国唐朝数学家中国唐朝数学家王孝通王孝通在在626年前后所著的年前后所著的 缉古算经缉古算经中建立了中建立了25个三次多项式方个三次多项式方 程和提出三次方程实根的数值解法程和提出三次方程实根的数值解法. 波斯数学家欧玛尔波斯数学家欧玛尔海亚姆海亚姆(1048-1123)利用圆 锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法 利用圆 锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法. 他说明了怎样几何方法利用三角法表得到答案他说明了怎样几何方法利用三角法表得到答案. 意大利数学家意大利数学家S. Ferro (1465 1526) 找到了求解找到了求解 3 xpxq 的解法的解法. 其中其中p, q都是正数都是正数. 32 0,0axbxcxda 32 0 xAxBxC 3 0 33 AA xp xq 3 0XpXq没有“负数”的年代没有“负数”的年代 S.Ferro保守着一元三次方程求解的秘密保守着一元三次方程求解的秘密, 临死临死 之前教给了他的学生之前教给了他的学生A. Fiore. 1530年年布雷西亚的数学教师德科伊向布雷西亚的数学教师德科伊向Tartaglia 提出三次方程的问题提出三次方程的问题. 几年中几年中Tartaglia已经找 到了缺少一次项的正系数三次方程 已经找 到了缺少一次项的正系数三次方程: 32 xpxq Fiore要求与要求与Tartaglia竞赛竞赛, 看看谁更聪明看看谁更聪明. Tartaglia: 两个星期的精心研究两个星期的精心研究, 找出了一般解法找出了一般解法. 1535年年2月月22日日, 两人于威尼斯竞赛两人于威尼斯竞赛: Tartaglia大获全胜大获全胜 Girolamo Cardano(1501-1576) 意大利文艺复兴时期百科全书 式的学者 意大利文艺复兴时期百科全书 式的学者: 数学数学, 物理物理, 医学医学, 占星占星. 1526年获医学博士学位，后成为欧洲名医，曾 任英国国王爱德华六世的御医，并曾任教于帕 维亚大学、博洛尼亚大学 年获医学博士学位，后成为欧洲名医，曾 任英国国王爱德华六世的御医，并曾任教于帕 维亚大学、博洛尼亚大学. 曾经通过占星算出自己的曾经通过占星算出自己的忌辰忌辰. 1539年年, Cardano获知获知Tartaglia会三次方程解法会三次方程解法. 向向Tartaglia讨教三次方程的解法讨教三次方程的解法. Tartaglia在在Cardano发誓保密发誓保密的前提下、将三的前提下、将三 次方程的解法以暗语般的次方程的解法以暗语般的25行诗歌形式告诉了行诗歌形式告诉了 Cardano. 但但Tartaglia拒绝进一步解释拒绝进一步解释诗歌诗歌. Cardano在研究解法时发现了复数根在研究解法时发现了复数根, 他写信询 问 他写信询 问Tartaglia , Tartaglia发觉发觉Cardano已经领会 了解法 已经领会 了解法, 就在回信中就在回信中称称Cardano的想法都是错的的想法都是错的. 1540年年Cardano解出了三次方程解出了三次方程, 他的学生费拉他的学生费拉 里则在三次方程解法的基础上解出了四次方程里则在三次方程解法的基础上解出了四次方程. 限于誓言限于誓言, 两者均不能发表两者均不能发表. 1543年年Cardano 和费拉里从和费拉里从Ferro的手稿中得知的手稿中得知Ferro是 第一个 解出三次方程的人 是 第一个 解出三次方程的人. Cardano将三次和四次方程的解法在将三次和四次方程的解法在1545年年 出版的出版的大术大术中发表中发表, 书中提到了书中提到了Ferro是第 一是第 一 个解出三次方程的人个解出三次方程的人, Tartaglia独立发现了解法独立发现了解法. 三次方程求根公式三次方程求根公式: Cardano公式公式 Tagtalia的反抗Tagtalia的反抗 1546年年Tagtalia出版各种问题和发明出版各种问题和发明 以对话和书信等记实方式陈述了他与以对话和书信等记实方式陈述了他与Cardano 等人的交往经历和三次方程解法的发现过程等人的交往经历和三次方程解法的发现过程, 对对 Cardano进行了攻击进行了攻击. Cardano本人一直对本人一直对Tagtalia的攻击保持缄 默 的攻击保持缄 默, 而费拉里则回击了塔尔塔利亚而费拉里则回击了塔尔塔利亚, 两人通过信件 争论了一年多 两人通过信件 争论了一年多. 1548年年Tagtalia与费拉里与费拉里竞赛竞赛, 结局结局? 250年的寻找年的寻找:一元五次方程的求根公式一元五次方程的求根公式 没有结果没有结果 直到绝世天才的出现!直到绝世天才的出现! N.H.Abel (1802-1829)出生在挪威一个名叫芬出生在挪威一个名叫芬 德的小村庄德的小村庄. 父亲父亲: 村子里的穷牧师，村子里的穷牧师， 母亲母亲Anne: 美丽的女人，遗传美丽的女人，遗传 给阿贝尔惊人的漂亮容貌给阿贝尔惊人的漂亮容貌. 小学教育小学教育基本上由父亲来教基本上由父亲来教, 读的书都是手抄本读的书都是手抄本: 没钱没钱, 请不起家庭教师请不起家庭教师. 1815年年: 进入教会学校读中学进入教会学校读中学. 1817年年: 阿贝尔一生的转折点阿贝尔一生的转折点. 数学老师数学老师:好酒如命好酒如命, 脾气粗暴脾气粗暴, 体体 罚致死学生被解职罚致死学生被解职, 由比由比Abel大七 岁的年青教师 大七 岁的年青教师Holmboe代替代替. Holmboe :最大的贡献最大的贡献, 发掘了发掘了Abel的数学才能的数学才能, 成为成为Abel的朋友并给予帮助的朋友并给予帮助. Holmboe私下给私下给Abel讲授高等数学讲授高等数学, 介绍阅读介绍阅读 Poisson、Gauss以及以及Lagrange的著作的著作, Abel很快 掌握了经典著作中最难懂的部分 很快 掌握了经典著作中最难懂的部分. 1821年年, Abel进入进入Royal Frederick University. 此时此时Abel基本上是挪威数学知识最深厚的数 学家了 基本上是挪威数学知识最深厚的数 学家了, 读完了图书馆中所有数学文献读完了图书馆中所有数学文献. Abel开始研究困扰了数学界开始研究困扰了数学界250年的五次方程求 根问题 年的五次方程求 根问题, 不久便不久便认为得到了求根公式认为得到了求根公式. 两位教授找不出错误两位教授找不出错误, 将将Abel的研究手稿寄给的研究手稿寄给 Copenhagen最著名的数学家最著名的数学家F. Degen. Degen也找不出错误也找不出错误. Degen认为问题求解不会如此简单认为问题求解不会如此简单, 建议建议Abel再 仔细检验证明的推导过程 再 仔细检验证明的推导过程. 同时同时, Abel发现了自己推理中的缺陷发现了自己推理中的缺陷. Degen觉得觉得Abel这样的数学天才可以从事一些更 有意义的数学工作 这样的数学天才可以从事一些更 有意义的数学工作: 椭圆函数和超越数椭圆函数和超越数等等. 1822年年Abel大学毕业大学毕业, 大学教授为大学教授为Abel提供经济提供经济 资助资助, C. Hansteen 教授为教授为Abel提供住宿提供住宿, 教授夫 人乃 教授夫 人乃Abel “第二母亲”第二母亲”. 在此期间在此期间, Abel写出若干卓越的数学论文写出若干卓越的数学论文. 1823年夏年夏，Rasmussen教授给资助教授给资助Abel去哥去哥 本哈根见本哈根见Degen及其他数学家及其他数学家, 希望他能在外 面见识和扩大眼界 希望他能在外 面见识和扩大眼界. 在此期间在此期间, Abel找到一些 新的经济资助者 找到一些 新的经济资助者. Abel重新考虑一元五次方程的求根问题：重新考虑一元五次方程的求根问题： Abel-Luffini定理定理: 一元五次方程不存在一般的求根公式一元五次方程不存在一般的求根公式! Abel自费印刷论文自费印刷论文. 因为贫穷因为贫穷, 为了减少印刷费为了减少印刷费, 他把论文浓缩成只有六页的小册子他把论文浓缩成只有六页的小册子. 论文生涩难懂论文生涩难懂: 1826年年才发表详细的证明才发表详细的证明. Abel满怀信心地把小册子寄给国外的数学家满怀信心地把小册子寄给国外的数学家, 包 括 包 括Gauss，希望能得到一些反应，希望能得到一些反应. Gauss收到这小册子时 觉得不可能用这么短的收到这小册子时 觉得不可能用这么短的 篇幅证明这个世界著名的问题篇幅证明这个世界著名的问题-连他都没法 解决的问题 连他都没法 解决的问题, 于是于是.就把它扔在书堆里了就把它扔在书堆里了. Abel获得经济资助后在欧洲四处游学获得经济资助后在欧洲四处游学, 与许多 数学家有广泛的交流 与许多 数学家有广泛的交流. 失败的游学:失败的游学: (1) 没有到没有到Gottingen大学访问大学访问Gauss; (2) 没有在巴黎发表重要的工作没有在巴黎发表重要的工作; (3) 欠了不少债欠了不少债. 为获得法国科学院大奖做出的关于为获得法国科学院大奖做出的关于椭圆函数椭圆函数的的 巨著死后才发表出来巨著死后才发表出来. 在巴黎期间在巴黎期间, Abel染上肺结核染上肺结核. 1828年圣诞年圣诞, 到到 Froland看他的未婚妻看他的未婚妻. 短暂的幸福假期使其病情稍有缓解短暂的幸福假期使其病情稍有缓解. 1829年年4月月6日日:Abel在穷困中因病去世在穷困中因病去世. 1829年年4月月8日日Berlin大学教授席位的聘书是永大学教授席位的聘书是永 远的来迟了远的来迟了. 1830年年6月月法国科学院颁发法国科学院颁发Grand Prix奖奖给给Abel. 1830年年Cauchy在旧书堆终于找出积满灰尘的在旧书堆终于找出积满灰尘的 Abel的手稿，的手稿，1841年这篇史诗般的手稿又一次 丢失，直到 年这篇史诗般的手稿又一次 丢失，直到1952年才在佛罗伦萨被重新发现年才在佛罗伦萨被重新发现. 阿贝尔留下的工作，可以使以后的数学家足够 忙碌五百年 阿贝尔留下的工作，可以使以后的数学家足够 忙碌五百年. -Hermite Abel奖Abel奖 由挪威王室于由挪威王室于2001年设立的数学大奖年设立的数学大奖. 自自2003年年起起, 由挪威自然科学与文学院的五名数由挪威自然科学与文学院的五名数 学家院士组成的委员会负责宣布获奖人学家院士组成的委员会负责宣布获奖人. 奖金数 额大致与 奖金数 额大致与诺贝尔奖诺贝尔奖相近相近. J.P.Serre(1926-): 法国法国 数学家数学家, 最年轻的最年轻的Fields 奖获得者奖获得者, 第一位第一位Abel奖 获得者 奖 获得者. Abel: 一元五次以上的代数方程一般来说是 不存在求根公式的 一元五次以上的代数方程一般来说是 不存在求根公式的. 什么时候存在求根公式呢什么时候存在求根公式呢? 超级天才的出现超级天才的出现: variste Galois variste Galois(10.25. 1811-5. 31. 1832) 法国的法国的天才数学家天才数学家: 莫扎特莫扎特的的天赋天赋, 贝多芬贝多芬的的激情激情, 拜伦拜伦的的浪漫浪漫. 出生于巴黎南郊小镇出生于巴黎南郊小镇, 父亲父亲: 中学校长中学校长, 镇长镇长. 母亲母亲: 熟读拉丁文并精通古典文学熟读拉丁文并精通古典文学. Galois从未接受特别的数学训练从未接受特别的数学训练, 母亲是启蒙教师母亲是启蒙教师. 狄更斯双城记狄更斯双城记中对中对法国大革命法国大革命的描述的描述: 那是最美好的时代那是最美好的时代, 那是最糟糕的时代那是最糟糕的时代; 那是智慧的年头那是智慧的年头, 那是愚昧的年头那是愚昧的年头; 那是信仰的时期那是信仰的时期, 那是怀疑的时期那是怀疑的时期; 那是光明的季节那是光明的季节, 那是黑暗的季节那是黑暗的季节; 那是希望的春天， 那是失望的冬天； 那是希望的春天， 那是失望的冬天； 我们都在直奔天堂我们都在直奔天堂, 我们都在直奔相反的方向我们都在直奔相反的方向. 1789年年, 攻占攻占巴士底狱巴士底狱 1794年年, 巴黎高师巴黎高师成立成立 1795年年, 巴黎综合理工学院巴黎综合理工学院建校建校 革命狂潮曾指向科学家：革命狂潮曾指向科学家： “共和国不需要科学家”共和国不需要科学家” “近代化学之父”近代化学之父” 拉瓦锡拉瓦锡 数学家数学家, 哲学家哲学家, 孔多塞孔多塞 “欧拉停止了计算和生命”欧拉停止了计算和生命” 于断头台就义于断头台就义 结果结果:院士们变得畏缩院士们变得畏缩, 老态龙钟老态龙钟 Napolon Bonaparte(1769-1821) 1804-1815年年: “法国人的皇帝法国人的皇帝”. 创立创立法兰西第一帝国法兰西第一帝国 1815年年, 滑铁卢战役前夕滑铁卢战役前夕, 有人建议拿破仑把巴黎综合工科学校 和高等师范的学生派上战场 有人建议拿破仑把巴黎综合工科学校 和高等师范的学生派上战场, 拿破仑断然拒绝拿破仑断然拒绝, 留下永恒的话语留下永恒的话语: “怎么能为了打赢一场战争, 而杀掉下金蛋的母鸡呢?怎么能为了打赢一场战争, 而杀掉下金蛋的母鸡呢?” 1823-1826: 就读于巴黎的路易就读于巴黎的路易-勒勒-格兰皇家中学格兰皇家中学 著名校友著名校友: Victor Hugo(1802-1885) 希腊语希腊语, 拉丁语成绩突出拉丁语成绩突出, 多次获奖多次获奖. 但非出类拔萃但非出类拔萃. 1826: 修辞课成绩不好修辞课成绩不好, 重修重修! 难堪的事难堪的事, 校方批准校方批准Galois可以去听可以去听数学课数学课. 迅速的掌握了书上的所有数学迅速的掌握了书上的所有数学, 对教科书不满对教科书不满: 只注重形式和技巧问题只注重形式和技巧问题! 直接阅读大师的著作直接阅读大师的著作: “像读小说一样”读完像读小说一样”读完Legendre的两年制教程的两年制教程 几何原理几何原理: 领悟到数学推理方法的严密性领悟到数学推理方法的严密性. 读读Lagrange的解数值方程的解数值方程, 解析函数论解析函数论. Euler, Gauss, Cauchy的原著的原著: 坚实的数学基础坚实的数学基础. “Galois被数学的鬼魂迷住了心窍被数学的鬼魂迷住了心窍.” 1828年年: 由初级升入高级数学班由初级升入高级数学班 得遇名师得遇名师: 数学教授数学教授L.P.E. Richard. 讲课优雅动人讲课优雅动人, 思维清晰深刻 具有发掘和培养科学英才的敏锐判断力 思维清晰深刻 具有发掘和培养科学英才的敏锐判断力: 海王星预测者海王星预测者Verrier,数学家数学家Hermite 认定认定Galois具有超凡的数学天赋具有超凡的数学天赋: “Galois只适合在数学的尖端领域工作只适合在数学的尖端领域工作.” 1829年年:发表论文“周期连分数的一个定理”发表论文“周期连分数的一个定理” 1828年年 参加巴黎综合理工学院的入学考试参加巴黎综合理工学院的入学考试. 第一次面试第一次面试: 年轻气盛年轻气盛, 大部分论证马马虎虎大部分论证马马虎虎, 懒懒 得写清楚得写清楚, 且且拒绝考官给的建议拒绝考官给的建议. 1829年年7月月2日日 父亲饮恨自杀父亲饮恨自杀; 主考官主考官: 故意提一些人为的故意提一些人为的, 错综复杂的问题错综复杂的问题, 1829年年8月月 第二次入学前面试第二次入学前面试; Galois难以忍受难以忍受, 把黑板擦掷向把黑板擦掷向Dinet, 并且直接命中并且直接命中. Galois认为问题不恰当认为问题不恰当, 仅予以简单回答仅予以简单回答; 主考官主考官: 一些关于对数的问题一些关于对数的问题, Galois认为问题过于简单认为问题过于简单. Galois意图向主考官介绍自己的数学研究成果意图向主考官介绍自己的数学研究成果. 主考官狂笑主考官狂笑: 难以置信难以置信Galois对高深数学问题的研究对高深数学问题的研究. 1829年年10月月, 进入巴黎高等师范学院学习进入巴黎高等师范学院学习. 1829年年5月月, 将方程根式求解充要条件的论文提交法国将方程根式求解充要条件的论文提交法国 科学院科学院, 意欲获得科学院大奖意欲获得科学院大奖. 首席数学家首席数学家Cauchy评审评审: 论文新概论文新概 念多念多, 论述过于简略论述过于简略, 建议修改建议修改. 1830年年2月月, Galois再次提交论文再次提交论文, 主审主审 Fourier未及审稿就于未及审稿就于5月去世月去世. 手稿遗失手稿遗失. 1831年年1月月Galois第第3次提交论文次提交论文. “不可理解”不可理解” 审稿审稿: Poisson(1781-1840) Lacroix(1781-1840) 我们已经我们已经尽了我们最大的努力尽了我们最大的努力来研究来研究Galois的证明的证明, 推理显得不很清楚推理显得不很清楚,., 我们甚至我们甚至不能给出他的证明思想不能给出他的证明思想 Galois的感受的感受: 自己是恶劣社会机构的牺牲品自己是恶劣社会机构的牺牲品, 这个机构化天才为庸才这个机构化天才为庸才. 万恶的压迫制度逼迫父亲走上了绝路万恶的压迫制度逼迫父亲走上了绝路! 1830年年7月月27日日: 七月革命七月革命 校长坚决反对学生参加推翻波旁王朝的示威游行校长坚决反对学生参加推翻波旁王朝的示威游行 1830年年11月月, Galois加入“加入“人民之友协会人民之友协会” 报名参加报名参加国民自卫炮兵队国民自卫炮兵队 1830年年12月月5日日, 学校公报发表嘲讽校长在七月革学校公报发表嘲讽校长在七月革 命中投机行为的文章命中投机行为的文章, 署名“署名“师范学院一学生师范学院一学生” 1831年年1月月8日日: Galois被开除学籍被开除学籍 1831年年4月月, “为为(干掉干掉)路易路易.菲利普干杯” 被抓菲利普干杯” 被抓. 1831年年7月月, 上街游行被判处上街游行被判处9个月监禁个月监禁, 关入监狱关入监狱. (1) 在牢房中整理了论文在牢房中整理了论文; (2) 研究了研究了Abel的椭圆函数的椭圆函数; (3) 为两部著作写了序言为两部著作写了序言. 1832年年3月月16日日, 因病转移到私人医院服刑因病转移到私人医院服刑. 1832年年4月月29日日, 刑满释放刑满释放. Galois在医院领导人家里碰到了心仪的女孩在医院领导人家里碰到了心仪的女孩 1832年年5月月29日日, Galois为了 “爱情与荣誉”为了 “爱情与荣誉” 将与“神枪手”决斗将与“神枪手”决斗. 然而然而, 恋爱美梦破灭恋爱美梦破灭. Galois在医院领导人家里碰到了心仪的女孩 对手的枪法很好 在医院领导人家里碰到了心仪的女孩 对手的枪法很好, 自己获胜的希望很小自己获胜的希望很小, 很可 能会死去 很可 能会死去. 他问自己他问自己, 如何度过这最后的夜晚？如何度过这最后的夜晚？ .我请求我的爱国朋友们我请求我的爱国朋友们, 不要责备我不是 为了祖国而献出生命 不要责备我不是 为了祖国而献出生命. .苍天作证苍天作证, 我曾用尽办法试图拒绝这场决斗我曾用尽办法试图拒绝这场决斗. Galois的遗书Galois的遗书 .我是作为一个不名誉的风骚女人和她的两 个受骗者的牺牲品而死的 我是作为一个不名誉的风骚女人和她的两 个受骗者的牺牲品而死的. .永别了永别了, 我已经为公共事业献出了自己大 部分的生命 我已经为公共事业献出了自己大 部分的生命 . 我已经得到分析学方面的一些新发现我已经得到分析学方面的一些新发现. 一些是 关于 一些是 关于方程求根理论方程求根理论的的, 其他则是关于积分函数的其他则是关于积分函数的. 对方程理论对方程理论, 我找出了我找出了方程根式可解的条件方程根式可解的条件. 证明还需要补充一些内容证明还需要补充一些内容. 我没有时间了我没有时间了. 请你公开请求请你公开请求Jacobi或或Gauss对这些定理的重要性对这些定理的重要性 而非正确性发表他们的看法而非正确性发表他们的看法. .我希望人们会发现我希望人们会发现, 整理清楚这些东西是非常 有益的 整理清楚这些东西是非常 有益的. 1846年年, J. Liouville(1809-1882) 在自己创立的数学杂在自己创立的数学杂 志志 Journal de Mathmatiques Pures et Appliques 全文 发表 全文 发表Galois的手稿的手稿, 并亲自作序并亲自作序. 法国科学院拒绝法国科学院拒绝Galois的手稿是因为“的手稿是因为“它模糊费解它模糊费解”, “产生缺点的原因是产生缺点的原因是追求过分简练追求过分简练”, “正如笛卡尔所说的正如笛卡尔所说的, 论述超常问题时论述超常问题时, 应该超常的清楚应该超常的清楚.” “让我们把缺点留在那儿而看看成绩让我们把缺点留在那儿而看看成绩. ” Galois的思想的思想十分独特，他对烦琐累赘的计算十分独特，他对烦琐累赘的计算 方法感到不可抑制的厌恶方法感到不可抑制的厌恶. 因此因此, 他的他的表述极其简明扼要表述极其简明扼要. Galois对待读者的态度对待读者的态度似乎很傲慢，他并不关心似乎很傲慢，他并不关心 读者的兴趣读者的兴趣. 今天的今天的Galois理论是“理论是“严肃严肃, 清晰清晰, 优美优美” 经过近经过近20位数学大师的发展和处理位数学大师的发展和处理, 特别是特别是 C. Jordan, R. Dedkind, E.Artin Camille Jordan(1838-1922)法国数学家法国数学家 Jordan定理定理 任一任一n阶复矩阵都相似于上三角矩阵阶复矩阵都相似于上三角矩阵 1 s A A 1 1 ii i i i i kk O A O Jordan是是法国法国最早系统整理最早系统整理Galois理论的数学家理论的数学家 1870年发表年发表“论代数方程的置换”“论代数方程的置换”解释解释Galois理理 论论. Dedekind(1831-1916):德国德国最早系统整理最早系统整理Galois理理 论的数学家论的数学家, 最早给出“最早给出“Galois群”的定义群”的定义. Galois的全部数学论文的全部数学论文: 60多页多页 人类历史最伟大的人类历史最伟大的10位数学家之一位数学家之一. 在开创性和概念的深邃方面无人能及在开创性和概念的深邃方面无人能及. -Picard Galois的论述在好几十年中一直被看成天书的论述在好几十年中一直被看成天书.