三角函数最值的求法

三角函数最值的求法摘要： 本文主要讨论三角函数的最值的求法，总结归纳出六种常用的方法：上下界法、二次函数法、几何法、不等式法、判别法和用导数法。关键词：三角函数；最值；求法。三角函数是当今高考必考的内容之一，而三角函数的最值是函数最值的重要内容，同时也是三角函数的重要分支，故重视和加强这部分内容对于学习三角函数的恒等变换，求解最值，掌握三角函数最值与二次函数、二次方程及不等式性质的关系的应用有着重要的意义。下面就求三角函数最值问题谈谈我的若干解决方法。一 上下界法。根据或把给定的三角函数或通过适当的恒等变形化成或（其中均为常数）的形式，然后求出最大值和最小值的方法称为上下界法。例1：求函数的最值。分析：先把原函数变形，然后根据直接求出最值。解： 帮所求，例2：已知函数求的最大值、最小值及相应的的集合；解：当，即时，取得最大值2，此时的取值范围为 ； 当，即时，取得最小值，此时的取值范围为。点评：（1）这种基本题型非常重要，在高考考题中出现的频率较高； （2）当自变量的取值范围有限制时，我们在转化时往往要注意变量的取值范围，否则容易造成结果错误。小结：应用上下界法必须注意，在将式子化为形如或后应全面考虑使等式成立的各个条件，否则将可能出现错误。二二次函数法将题目中的代数式转化为含有三角函数名的二次函数的形式，进而利用二次函数的知识来求解。例3：求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解 f(x)=(cos2x-)2-,当cos2x=1,即x= k(kZ)时， 当cos2x=-1,即x= k+( kZ)时，.小结：这里将函数f(x)看成关于cos2x的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间-1，1上的最值问题.三 运用几何方法通常我们在解决代数问题时可以把函数代表式转化为熟悉的几何问题来解决，这种方法称为几何法。例4：求函数的的最值函数。分析：函数的形式刚好可以看成是定点和动点的连线的斜率，利用图形我们可以一眼看出它的最值。解：如图，原式变为这表示定点和动点的连线的斜率，而动点的轨迹方程为它是一个椭圆，故的极值即过点向椭圆所作的两切线的斜率。设斜率为，切点为则切线方程为，因点在切线上，故有。解方程组图（1）解得或，所以两切线的斜率为：故.小结：注意在运用几何方法求极值时必须先把它化成表示定点到动点连线的斜率的形式。四 不等式法利用均值不等式来求最值。设均为正数，则他们的几何平均值不超过算术平均值，即（当且仅当时等号成立）。例5：若，求的最大值。分析：函数表达式刚好符合原理的要求，故用不等式法求最值较方便。解：将函数变形为故当且仅当即时，函数有最值，且为。小结：利用不等式求三角函数最值是一条有效的途径，相较其它方法比较容易掌握，但必须注意各项必须为正值。五 用判别法定义：如果三角函数具有y=的形式，那么可将其变为一个关于x的二次方程，然后利用二次方程根的判别式讨论取实数的条件。列一个含y的二次不等式，解此不等式即可得到原三角函数的最值。例6求函数y=5-4sin+的最值。分析：把原函数化为关于sin的二次函数，利用根的判别式法进行讨论，最终得出结果。解：原函数可变形为： 解得 又 且解得 小结：用此法求最值的关键是将函数变形成二次方程的形式，再把问题转化为不等式的解。六 用导数法利用导数求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。例7求函数在上的最大值与最小值。解：x)= 令 得或又因为，所以下面分两种情况讨论：（） 当时，此时在此区间上单调递减；（） 当时，此时在此区间上单调递增。因此，当时，有极小值，并且极小值为又由于因此，函数在上的最大值是，最小值是。小结：在利用导数求函数的最值时，要注意极值与最值的区别与联系。极值反映的是函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质，且极大值与极小值可以同时存在着若干个或不存在，极大值不一定比极小值大。而最值是个整体概念，是整个定义域上的最大值与最小值，从个数上看，最值是唯一的。所以在做这类题时，必须先求出极大（小）值，然后再与端点处的函数值进行比较，得到函数在整个定义域内的最大（小）值。以上列举了常用的六种求三角函数的最值的方法，具体题型应用哪种方法来解决就必须依据解题者自己的灵活运用。如能正确运用这六种方法，不但能提高解题者的解题