三角函数的知识点总结及相关习题

三角公式总表L弧长=R= S扇=LR=R2=正弦定理：= 2R（R为三角形外接圆半径）余弦定理：a=b+c-2bc b=a+c-2ac c=a+b-2ab S=a=ab=bc=ac=2R=pr=(其中, r为三角形内切圆半径) 同角关系：商的关系：= 倒数关系：平方关系： （其中辅助角与点（a,b）在同一象限，且）函数y=k的图象及性质：（）振幅A，周期T=, 频率f=, 相位，初相五点作图法：令依次为 求出x与y， 依点作图诱导公试sincostgctg-+-+-+-+2-+-2k+三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限sincontgctg+-+-+-三角函数值等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限和差角公式 其中当A+B+C=时,有:i). ii).二倍角公式：(含万能公式) 三倍角公式：半角公式：（符号的选择由所在的象限确定） 积化和差公式： 和差化积公式： 反三角函数：名称函数式定义域值域性质反正弦函数增 奇反余弦函数减反正切函数R 增 奇反余切函数R 减 最简单的三角方程方程方程的解集 第六讲 高考第17题训练（一）说明：高考的第17题比较简单，09考得是简单的三角函数，分值为12分。和差公式 倍角 高考第17题原题17（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知向量（）求向量的长度的最大值；（）设，且，求的值。答案（1）所以向量的长度的最大值为2.w.（2）。于是。2009年全国各地优秀模拟训练1、（2009北京4月）（5分）若（ ）A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角2、（2009北京高三上期末）（6分）将函数的图像按向量平移后得到函数的图像，那么（ ）A、 B、C、 D、3、（2009北京高三上期末）（5分）在ABC中，C=120，则的值为（ ）A、 B、 C、 D、4、（2009湖北八校联考二）已知为偶函数，且，则的值为_.(6分)5、（2009湖北五市联考）若，则=_。（6分）6、（2009武汉2月）已经函数（1）求函数的定义域；（2）求函数在上的单调区间。7、（2009湖北八校联考一）已经函数（1）若，求的值。（2）若，求的值域。8、（2009北京4月）在ABC中，角A、B、C所对的三边分别是、，已知，60。（1）求的值及三角形的面积；（2）求的值。9、（2009北京高三抽样）在ABC中，角A、B、C所对的三边分别是、，且三边长度互不相等。已知。（1）求的值；（2）求的值。10、（2009武汉4月）已知函数，其定义域为，最大值为6。（1）求常数m的值；（2）求函数的单调递增区间。三角函数的图象、性质重要讲解分析江苏 郑邦锁1研究一个含三角式的函数的性质时一般先将函数化为y=Asin(x+)+B或y=Acos(x+)+B的形式。注意：函数y=|Asin(x+)|的周期是函数y=Asin(x+)周期的一半。举例函数在时有最大值，则的一个值是, A、 B、 C、 D、解析：原函数可变为：，它在时有最大值，即=2k+=（k-1）+，kZ，选A。（万不可分别去研究和的最大值）。巩固 函数ysin2xcos2x的最小正周期是 ；函数y=tanxcotx的周期为 ；函数y=|+sim|的周期为 。2在解决函数y=Asin(x+)的相关问题时，一般对x+作“整体化”处理。如：用“五点法”作函数y=Asin(x+)的图象时，应取x+=0、2等，而不是取x等于它们；求函数y=Asin(x+)的取值范围时，应由x的范围确定x+的范围，再观察三角函数的图象（或单位圆上的三角函数线），注意：只需作出y=sin(把x+视为一个整体，即)的草图，而无需画y=Asin(x+)的图象；求函数y=Asin(x+)（0）的单调区间时，也是视x+为一个整体，先指出x+的范围，再求x的范围；研究函数y=Asin(x+)的图象对称性时，则分别令x+=k+和x+=k（kZ）,从而得到函数y=Asin(x+)的图象关于直线对称，关于点（，0）对称（kZ），（正、余弦函数图象的对称轴平行于Y轴且过函数图象的最高点或最低点，而对称中心是图象与“平衡轴”的交点）;对函数y=Acos(x+)也作完全类似的处理。举例1画出函数在0，内的图象并指出其有无对称轴、对称中心。解析：作函数的图象不是先作函数的图象，再由它伸宿、平移得到，而是直接描点作图。但不是在0，内取=0、这五点，而是视为一个角，取=、2、六个点，具体列表如下：2010-10描点、作图略。不难看出直线、都不是函数的对称轴，点（，0）、（，0）也都不是函数图象的对称中心，因为定义域不关于它们对称，所以无对称轴、对称中心。举例2 已知函数，（1）指出函数的对称轴、对称中心；（2）指出函数的单调递增区间；（3）函数在上的最大、最小值，并指出取得最大、最小值时的x的值。解析：-，（1）对称轴：由=+得，；对称中心：由=得，函数图象的对称中心为（，-）。（2）由 2- ，2+得，。（3）将视为一个角，画函数的草图，观察时函数值的范围为-1，当且仅当=时取得最小值-1，=时取得最大值；即=时原函数最小值-2-，=时原函数最大值1-。巩固 巩固有以下四个命题：函数f(x)=sin(2x)的一个增区间是，；若函数f(x)=sin(x+)为奇函数，则为的整数倍；对于函数f(x)=tg(2x+)，若f(x1)=f(x2)，则x1x2必是的整数倍；函数y=2sin(2x+)的图像关于点（，0）对称。其中正确的命题是 （填上正确命题的序号）迁移 函数f(x)=2sin2x+sin2x-1 （ 0） 若对任意xR恒有f(x1)f(x)f(x2),求|x1-x2|的最小值； 若对任意xR恒f(x)f(1)，试判断f(x+1)的奇偶性； 若f(x)在0,上是单调函数,求整数的值；3已知函数y=Asin(x+)+B（A0，0）的图象求表达式，一般先根据函数的最大值M、最小值m（最高、最低点的纵坐标），确定A、B（A+B=M,-A+B= m）；根据相邻的最大、最小值点间的距离d（最高、最低点的横坐标之差的绝对值）确定()，最后用最高（或最低）点的坐标代入表达式确定。举例 已知函数y=Asin(x+)(A0,0,00,|0，0,00)个单位，则表达式中的y(x)应变为y-m(x-m);图象横（纵）坐标变为原来的n倍，则表达式中的x(y)应变为 ()。关注“先伸缩后平移”与“先平移后伸缩”的结果是不同的。举例 已知函数（）函数f（x）的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数？（）函数f（x）的图象经过怎样的平移后得到y=cosx.。解析：由得：，b=1，降次、“合二为一”后得：=sin(2x+),()思路一：函数y= f（x）的图象关于（，0）对称，向右平移个单位后图象关于原点对称即为奇函数（平移的方法不唯一，因为函数y= f（x）的图象对称中心不唯一）；思路二：若函数f（x）的图象向右平移m个单位得到函数y= sin(2x2m+),要使其为奇函数，则x=0时函数值为0（奇函数图象关于原点对称），即2m+=，m=,随的取值不同可以得到不同的m的值，回答其中任一个即可。（运算量虽大一些，但更具一般性）。() =sin(2x+)=cos(-2x)=cos(2x-)=cos2(x-),方案一：先左移(x变成x+)得到函数y= cos2x,再纵坐标不变横坐标变为原来的2倍（x变成）得到函数y=cosx；方案二：先纵坐标不变横坐标变为原来的2倍（x变成）得到函数y= cos(x-)，再左移(x变成x+)得到函数y=cosx。注：（）图象变换的问题要特别注意题目要求由谁变到谁，不要搞错了方向；（）变换的源头和结果需化为同名的三角函数且角变量的系数同号（用诱导公式）才能实施；（）如果已知变换的结果探究变换的源头，可以“倒行逆施”。巩固1把函数y=cosx-sinx的图象向左平移m个单位（m0）所得的图象关于y轴对称，则m 的最小值是 A.B. C. D. 巩固2 将函数=Acos(x+)(A0,0, |B sinAsinB；sin(B+C)=sinA、cos(B+C)=-cosA、cos=sin、sin=cos；ABC中cosA+cosB0,cosB+cosC0,cosA+cosC0；在锐角三角形ABC中sinAcosB,sinBcosC,sinCcosA等；若A、B是钝角三角形两锐角，则sinAcosB,sinBcosA。等等举例 在ABC中，cos(B+C)+cos(+A)的取值范围是 .解析：原式=-2sin(A+),A(0,) A+(,)sin(A+)(-,1,即原式的取值范围是： -2，）巩固1在锐角三角形ABC中，设x=sinAsinB，y=cosAcosB，则x,y的大小关系是：( )Axy, Bxy巩固2 在中，已知，给出以下四个论断：，其中正确的是（ ）ABCD简答1 巩固 4；2巩固， 迁移 f(x)=2sin(2x-)， 由f(x1)f(x)f(x2)知：x1、x2分别是函数y=f(x)的最小值、最大值点，最小、最大值点间最近的距离为半个周期，得，偶，视2x-为一个角，则-，-，函数在 -，-上单调，则-，得0,又为整数，=1。3巩固 注意A未必是正数，C， 迁移 y=3sin(x+)+24. 巩固1 C, 巩固2 =2 cos(2x-)5. 巩固1 D，巩固2高中数学必修内容训练试题(4)-三角函数一、选择题（每题3分，共54分）1 若点P在的终边上，且OP=2，则点P的坐标（）ABCD2 已知（）ABCD3 下列函数中，最小正周期为的是（）A BC D4 已知（）ABCD5 若是三角形的内角，且，则等于（）AB或CD或6 下列函数中，最小值为1的是（）A BC D7 设的值是（ ）ABCD8 的值是()ABCD9 将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则等于()ABCD10 的值等于( )ABCD11 化简等于( )ABCD12 若在( )A第一、 二象限B第一、三象限C第一、 四象限D第二、 四象限13 函数()A周期为的奇函数 B周期为的偶函数C周期为的奇函数 D周期为的偶函数14 设分别表示函数的最大值和最小值，则()ABCD15 下列四个命题中，正确的是()A 第一象限的角必是锐角B锐角必是第一象限的角C终边相同的角必相等D第二象限的角必大于第一象限的角16 用五点法作的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )A BC D17 化简得( )A0B1CD18 = ( )ABCD二、 填空题（每题3分，共15分）19 已知 20 已知 21 函数 22 的形状为 23 已知角的终边过点的值为