高一数学-向量加法运算及其几何意义-精品

2.2.1 向量加法运算及其几何意义学习目标：掌握向量加法的概念，结合物理学实际理解向量加法的意义熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量理解向量加法满足交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义教学重点：向量加法的三角形法则与平行四边形法则教学难点：对向量加法定义的理解教学方法：讲授、讨论式教具准备：几何画板演示：向量加法的三角形法则与平行四边形法则、向量加法满足交换律和结合律、例2教学过程：（）复习引入：师：上节课，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念我们用有向线段作为向量的几何直观，“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？为什么？生：不对！向量是一种量，而有向线段只是向量的几何表示形式，是图形例如零向量就不是有向线段师：零向量、单位向量都是对向量的长度加以限制，而没有考虑它们的方向可以说所有的单位向量都是相等向量吗？为什么？生：不可以因为相等向量是指长度相等且方向相同的向量，而单位向量只是长度相等，它们的方向不一定相同师：平行向量也叫做共线向量怎样理解共线向量的概念呢？生：平行向量可以在同一直线上，共线向量所在的直线可以相互平行师：数产生以后我们只能进行计数，在引入了数的运算以后，数的威力才得以充分展现与此类似，向量和我们熟悉的数一样，也可以进行运算，这一节，我们先学习向量的加法运算及其几何意义（）讲授新课：向量加法的定义及向量加法的三角形法则师：我们先给出向量加法的定义：如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作ab，即ab求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则说明：运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量即为和向量.两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型向量加法的平行四边形法则师：如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作平行四边形OABC，则以O为起点的对角线与向量a，b有什么关系？生：因为平行四边形对边平行且相等，所以可以把向量b的起点由O移到A，即 = =b，则：= ab师：用这种方法得到的向量就是a与b的和我们把这种方法叫做向量加法的平行四边形法则说明：三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.（用几何画板演示）力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型对于零向量与任一向量a，a0=0+a=a例1如图，已知向量a，b，求作向量ab. 分析：此题可以应用向量加法的三角形法则也可应用向量加法的平行四边形法则求解，但应注意两种法则的适用前提不同，若用三角形法则，则应平移为两向量首尾相接；若用平行四边形法则，则应平移为两向量同起点情形.作法：见课本向量加法的性质：师：观察右图，在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？生：两个向量的和向量的大小，与数的加法运算类似：当两个向量方向相同时，和向量的模等于这两个向量的模的和；当两个向量方向相反时，和向量的模等于这两个向量的模的差师：当两个向量不共线时，它们的和的模与这两个向量的模之间有什么关系？生：由例1及三角形的性质可知，当两个向量不共线时，它们和的模小于这两个向量的模的和师：一般地，我们有|a|b|ab|a|+|b|这就是向量加法的一个基本性质，有人称之为三角形不等式请同学们继续思考下面的问题：a，b处于什么位置时，下面的结论成立？|ab|a|+|b|；|ab|a|b|生：当向量a，b方向相同，或有一个为零向量时等式成立；当向量a，b方向相反，或有一个为零向量时等式成立向量加法的运算律师：我们知道数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效的简化运算类似的，向量的加法也有相应的运算律：交换律：abba结合律：(ab)ca(bc)请同学们验证上面的结论（用几何画板演示）综上所述，向量的加法满足交换律和结合律例2一艘船从长江南岸A点出发以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的流速为向东2 km/h试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；求船实际航行速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到度).分析：速度是一个既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法.解：如图，设表示船向垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以AD、AB作邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度.在RtABC中，|2，|5， | tanCAB， 答：船实际航行速度的大小约为5.4 km/h，方向与水的流速间的夹角为约为68.评述：此例说明在物理学中有关速度合成等问题可以运用向量的知识来解决.（）课后练习：课本练习习题2.2A组 B组（）课时小结:两个向量的和仍然是向量，它的大小和方向可以由三角形法则和平行四边形法则确定，这两种法则本质上是一致的共线向量加法的几何意义，为共线向量首尾相连接，第一个向量的起点与第二个向量的终点连接所得到的有向线段所表示的向量物理学中，位移的合成是向量加法三角形法则的基本模型，力的合成是向量加法平行四边形法则的基本模型（）课后作业：课本习题2.2A组预习课本，思考下列问题：怎样的向量叫做相反向量？它与实数中的相反数有什么相似之处？相反向量有哪些性质？向量减法是怎样定义的？向量的减法的几何意义是怎样的？它与向量的加法有什么关系？板书设计：2.2.1向量加法运算及其几何意义1.向量加法的定义 3.向量加法的性质 例2 2.向量加法的几何意义三角形法则 4.向量加法的运算律 小结平行四边形法则 预习提纲教学后记:精品推荐 强力推荐 值得拥有精品推荐 强力推荐 值得拥有精品推荐 强力推荐 值得拥有精品推荐 强力推荐