含有参数的函数单调性问题教学设计

含有参数的函数单调性问题教学设计胡蓉一、教材地位导数在新课标卷中以压轴题的形式考察，近五年最后一道压轴题都是含有参数的函数题，熟悉含参函数单调性问题的求解是非常重要的，它是解决含参函数极值、最值、零点等问题的基础。二、教学背景与教学目标 笔者所教学生为重点中学文科学生，己经学完导数在研究函数中的应用三个课时，但是相对而言还比较零散，缺少整体联系但又具有一定的知识迁移能力。 学生在学习一元二次不等式时，经常遇到含参问题，需要进行讨论，因此对含参问题并不陌生。但是对于含参的函数的单调性问题，何时需要分类讨论，以及如何分类讨论做到不重不漏并不清楚，也没有形成解题系统。三、教学重点、难点重点：掌握含有参数的函数单调性问题分析及解决能力难点：培养利用分类讨论、化归、数形结合、类比等数学思想与方法进行解题的意识四、教学过程设计（一）复习引入（1）求函数的单调区间设计意图：师生共同解决此题，同时回顾了不含参函数单调区间的求解过程，也为解决例1搭建桥梁解：函数定义域为，令得；令得综上， 的单调递增区间为，单调递减区间为（二）探究新知例1、求函数的极值教师活动：教师提供如下解法，让学生思考、点评.解：函数定义域为，令得；令得综上， 的单调递增区间为，单调递减区间为设计意图：训练学生考虑问题严谨的思维，同时引导学生发现单调区间的确定与的正负值有关，从而确定分类标准。学生活动：学生根据上述错解的启发，独立对错解进行修改，补充，作答。得到正解解：函数定义域为，（1）当时令得；令得（2）当时，综上， 当时的单调递增区间为，单调递减区间为当时，的单调递增区间为教师活动：教师通过几何画板动态演示不同值时单调区间的情况，并引导学生归纳求解含参函数单调性问题的一般步骤。步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。设计意图：通过几何画板演示，印证了例1所求结果，同时使学生大脑中对函数图像由抽象变得具体，更有画面感，为后面解决极值和最值做铺垫。后面总结求解步骤，提高学生归纳推理的能力。练习1.（2015课标全国卷）已知（1）讨论的单调性 学生活动：学生先独立完成，再小组讨论，完善解题步骤。教师活动：投影学生解答过程及点评。同样动态演示值改变时单调区间情况。教学意图：趁热打铁，强化解题过程（三）知识应用例1.变式1：求函数在区间上的最小值教师活动：教师利用几何画板在例1图的基础上作出与两条直线，改变值，让学生仔细观察两直线间函数最小值情况，有四种情况如下图。观察时可引导学生分析：当考察区间在自然定义域的子区间时，若自然定义域的单调性有增有减（即有极值点）时，应对考察区间与极值点的相对位置进行讨论。这类比于高一学习的含参二次函数在特定区间的最值问题，“定轴移区间”和“定区间移轴”。学生活动：在教师的引导下，整理思路，完成解答。设计意图：该题是例1求出函数单调区间的应用，使进一步体会数形结合思想在分类讨论中判断出分类标准的作用。在分析时，使用了类比的数学思想，以以往知识为出发点，学生更容易理解，触类旁通。变式2：若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围。教师/学生活动：教师利用几何画板在变式1图的基础上改变值，使图在与两条直线间出现两个零点，学生结合图观察分析在有两个零点的等价条件。分析时可引导学生类比高一学过的二次函数根的分布问题：例如二次函数在上有两个零点，学生容易类比推理求出此题的解。设计意图：判断零点个数，一般先考察函数在该区间上的单调性，并结合零点存在定理。（四）练习1.讨论函数的单调区间设计意图：。通过此题，引导学生分类讨论时要注意扮演的两个角色：一个影响最高次项的符号，一个影响方程的根。2.已知函数，求单调区间设计意