函数创新试题之“新定义型”函数

函数创新试题之“新定义型”函数 近几年高考试题或模拟试题中出现了一种函数创新试题“新定义型”函数。它是以“新定义型”函数的定义或性质为载体，考察学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力。本文在此介绍几种常见的“新定义型”函数，旨在探索题型规律，提高解题的方法。 一、密切函数 例1.设f(x)与g(x)是定义在同一区间a,b上的两个函数，若对任意的x a,b，都有f（x）-g(x)1。则称f(x)和g(x)在a,b上是“密切函数”，a,b称为“密切区间”，设f(x)=x2-3x+4 与g(x)=2x-3在a,b上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（ ） A，3，4 B，2，4 C，2，3 D，1，4 解析：由f(x)-g(x)= x2-5x+7 =x2-5x+7 1 得2 x 3,故所求密切区间可以是2，3 ，故应选C. 二，科比函数 例2，对于函数f(x),若在其定义域内存在两个实数a,b(a,b),使当x a,b时，f(x)的值域也是a,b,则称函数f(x)为“科比函数”。若函数f(x)=k+ 是科比函数，则实数k的取值范围是（ ） A.（ ，） B、 C. D. 解析：因为f(x)=k+ 是增函数，若f(x)=k+ 是“科比函数”，则存在实数a,b(-2 a b),使 f(a)=a,f(b)=b,即a=k+ , b=k+ 所以a,b为方程x=k+ 的两个实数根，从而方程k=x- 有两个不同实根，令 =t 则k=t2-t-2 (t 0) 当t=0时,k=-2;当t= 时,k= ,由图可知，当 k -2 时，直线y=k与曲线y=t2-t-2(t0)有两个不同交点，即方程k=t2-t-2有两个不等实根，故实数k的取值范围是 故应选C. 三， 保等比数列函数例3，定义在 上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an、f(an) 仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”。现有定义在 上的函数如下： f(x)= x2; f(x)=2x; f(x)= ; f(x)=ln .则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（ ）。A、 B C D 解析：根据“保等比数列函数”的定义逐个判断，如 an是等比数列，则an2 、 也是等比数列， 、 不一定是等比数列，故应选C。 四，延拓函数例4，已知函数f（x）、g（x）的定义域分别为F、G，且F G，若对于任意的x F，都有g（x）=f（x)，则称g（x）为f（x）在G上的一个“延拓函数”。已知函数f（x）=2x，（x 0), 若 g（x）为f（x)在R上的一个“延拓函数”，且g（x）是偶函数，则函数g（x）的解析式是（ ）。A、 B.log2x C . D.解析：由题意得，当x 0时，g（x）=f（x）= 2x = 2-x 又g（x）是偶函数，因此有g(-x)=g(x)恒成立，当x 0 时，-x 0, g(x)=g(-x)=2-x= 综上所述，g(x)= 故应选C。 五，符号函数 1 (x0)例5，已知符号函数sgn( x)= 0 (x=0)，则函数f(x)=sgn( lnx )- lnx 的零点个数为（ ） -1 (x0)A、1 B, 2 C , 3 D, 4 1 (x1)解析：由题意知sgn(lgx )= 0 (x=1) 在同一直角坐标系中作出y=sgn( lnx )与y=lnx 的图像， -1(0x1)由图可知，两函数有3个交点，所以函数的零点为3，故应选C。 六，单函数 例6，函数的定义域为A，若x1,x2A，且f（x1）=f( x2)时总有x1=x2 ，则称f（x）为单函数。例如，函数f（x）=2x+1是单函数。下列命题：a,函数f（x）= x2(x R) 是单函数；b,指数函数f（x）=2x(x R)是单函数；c,若f（x）为单函数，x1,x2A且x1x2，则f( x1) f( x2)；d,在定义域上具有单调性的函数一定是单函数。其中的真命题是 _（写出所有真命题的序号）解析：对于a，显然f(-1)=f（1），但-11，故f(x)=x2不是单函数；对于b，f(x)= 2x是单调递增函数，满足单函数的定义；对于c，该命题为定义的逆否命题，是真命题；对于d，单调函数显然满足单函数的定义，所以正确。故应填 b c d . 七，非减函数例7，函数的定义域为D，若对于任意x1,x2D，当x1x2时，都有 f（x1） f（x2），则称函数在D上为非减函数，设函数为定义在0，1上的非减函数，且满足以下三个条件：a f(0)=0 ; b f(1-x) +f(x)=1 x 0,1; c 当x 0, 时，f(x) 2x恒成立 则 f( )+f( )+f( )=_解析：因为x 0, ,f(x) 2x 恒成立，令x= 得f( ) ，又在f(1-x)+f(x)=1中，令x= 得f ( )= ，所以f( )=f( )，因而x , f(x)= ，从而f( )= , f( )= ，因而f( )=1-f( )，故应填上 。 八，t低调函数例8，设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x C（C A）,有x+t A，且f(x+t) f(x)，则称f（x）为C上的t低调函数。如果定义域为0,+)的函数f(x)= -x-m2+m2，且f(x)为0, +)上的10低调函数，那么实数m的取值范围为_解析：由题意可知，对于任意x 0，f(x+10) f(x)都成立，画出函数f(x)= -x-m2+m2图像，易知f(x+10)的图像永远在f(x)的图像下方，f(x+10)的图像与x轴的右交点的横坐标为 2m2-10，只需 2m2-100即可，解得 ，故实数m的取值范围为 , 九，上界函数例9，若f（x）g(x)满足恒成立，则称f(x)是g(x)的一个上界函数，如果函数f(x)=lnx 为g(x)= -lnx（t为实数）的一个上界函数，那么实数t的取值范围为_解析：由题意可知f(x) g(x)恒成立，即 -lnx lnx恒成立，因为x 0，所以t 2xl