线性代数 矩阵及其运算.ppt

第二章矩阵及其运算(Matrixj=1,2,n)排成的m行n列的数表,称m行n列矩阵，简称mn矩阵。记作,2.1.2矩阵的定义,2.说明:矩阵与行列式不同,形式不同矩阵的行列数可不同，但行列式必须行列数同.,内容不同矩阵是一个数表，但行列式必是一个数.,3.实矩阵、复矩阵,5.矩阵相等充要条件是:,4.同型矩阵,两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵,2.1.2一些特殊矩阵,1.方阵若A为n行n列的矩阵，称A为n阶方阵。,2.行矩阵、列矩阵,行矩阵只有一行的矩阵。,列矩阵只有一列的矩矩阵,3.零矩阵、单位矩阵,n阶单位矩阵,4.对角矩阵与数量矩阵,5.上（下）三角形矩阵,2.2矩阵的运算,2.2.1.矩阵的加法与数乘:,注：矩阵的加法只能在两个同型矩阵之间进行；两个矩阵相加时，对应元素进行相加。,1.矩阵的加法（定义2.2）:A=(aij)、B=(bij),2.矩阵的数乘定义2.3数与矩阵的乘积记为A或A，并规定：,负矩阵:A=(aij)减法：B=+(B),3.矩阵线性运算律：(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+(A)=O(4)1A=A(5)(kl)A=k(lA)(6)(k+l)A=kA+lA(7)k(A+B)=kA+kB,例1若X满足,其中,求X.,解X=,2.2.2.矩阵的乘法：1.矩阵的乘法定义（定义2.5）设矩阵A为ms阶矩阵、矩阵B为sn阶矩阵，A=(aij)ms、B=(bij)sn，则矩阵A与B的乘积为一mn阶矩阵C=(cij)mn，记C=AB，且,就是说，矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的所有元素与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和。,例2计算,例3.非齐次线性方程组的矩阵表示,记,则非齐次线性方程组可简记为,关于矩阵乘法的注意事项：（1）矩阵A与矩阵B做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等；（2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；,2.矩阵乘法与加法满足的运算规律,（3）AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，也不一定相等；（4）AB=O不一定有A=O或B=O；A(XY)=O且AO也不可能一定有X=Y,例4,定理2.1若矩阵A的第i行是零行，则乘积AB的第i行也是零；若矩阵B的第j行是零列，则乘积AB的第j列也是零。若A(或B)是零矩阵，则乘积AB也是零矩阵。,例5设,求AB与BA,解,只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：(1)AnAm=An+m(2)(An)m=Anm(3)(AB)kAkBk,3.矩阵的乘幂：设A是n阶方阵，定义：,例6,解,4.方阵A的n次多项式,5.矩阵的转置定义2.6A的转置矩阵，记作AT，是将A的行列互换后所得矩阵如果A是一个mn阶矩阵，AT是一个nm阶矩阵。,矩阵的转置的性质,证明（1）、（2）、（3）易证，下证明(4).设矩阵A为ms阶矩阵，矩阵B为sn阶矩阵，那么：(AB)T与BTAT是同型矩阵；又设C=AB，因为CT的第i行第j列的元素正好是C的cji，即cji=aj1b1i+aj2b2i+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+bsiajs而b1i，b2i，bsi正好是BT的第i行，aj1,aj2,ajs正好是AT的第j列，因此cji是BTAT的第i行第j列的元素。故(AB)T=ATBT,6.对称矩阵与反对称矩阵设A为n阶方阵，若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,n)，称矩阵A为对称矩阵；若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,n)，称矩阵A为反对称矩阵。,如右边的矩阵A为对称矩阵,7.方阵的行列式（1）方阵A的行列式，记为|A|或detA。注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记号也是不同的。（2）方阵的行列式满足以下运算规律(设A、B为n阶方阵，为实数),1)伴随矩阵：设A=(aij)nn，矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵,8、再讲几类特殊的矩阵,称矩阵A的伴随矩阵，记为A,矩阵运算举例,设对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB=BA=E恒成立，则称矩阵A可逆或满秩矩阵,或非奇异矩阵；B称为A的逆矩阵，记为A1=B。,1）.若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。证明：设A有两个逆矩阵B1、B2，则B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2,1、可逆矩阵的定义（定义2.8）,2、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质,证明：充分性由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又|A|0,2）.定理2.2A可逆的充要条件是|A|0，且A可逆时有,3）.对于n阶方阵A、B若有AB=E则：A、B均可逆，且它们互为可逆矩阵。证明：AB=E|A|B|=1故|A|0且|B|0，A、B均可逆，又BA=BABB1=BB1=E,故A1=B,必要性证明：A可逆AA1=A1A=E故|A|A1|=1，即|A|0，A可逆，同时还有,奇异矩阵与非奇异矩阵：若n方阵的行列式|A|0，称矩阵A为非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。,4）.逆矩阵的性质如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且(A1)1A(AT)1(A1)T(AB)1B1A1(kB)1k1A1(k为非零）|A1|=|A|1证明：A、B均可逆AA1=A1AE故(AA1)T=(A1)TATET=E(AT)1=(A1)T同理(AB)(B1A1)(B1A1)(AB)E(A)1=1A1,有关逆矩阵例题,本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。,2.4分块矩阵,即Aij与Bij有相同的列数与行数，则：A与B的和就是以Aij与Bij为元素的形式矩阵相加。,2.4.1分块矩阵的加法：设矩阵A,矩阵B为：,2.4.2分块矩阵的乘法：设矩阵Amn、Bnp且矩阵A列的分法与矩阵B的行的分法相同。,2.4.3分块矩阵的转置,它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称A为准对角矩阵（或对角块矩阵）。对于准对角矩阵，有以下运算性质：若A与B是具有相同分块的准对角矩阵，且设,2.4.4准对角矩阵若矩阵A的分块矩阵具有以下形式,则：,若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵A也可逆，且,2.4.5矩阵分块的应用,2.4.6矩阵按列分块,1.矩阵按列分块,2.线性方程组的系数矩阵按列分块后线性方程组的等价形式,如果把系数矩阵A按列分成n块，则线性方程组可记作,2.5初等变换与初等矩阵,2.5.1矩阵的初等变换(Elementaryoperation),1初等变换定义,定下面的三种变换称为矩阵的初等变换：(i).对调两行(ii).以非0数乘以某一行的所有元素；(iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义。矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换。显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也是同一种初等变换。,例18设,（1）用行初等变换把A化为阶梯形，进一步化为行标准形,（2）再用列初等变换把A化为标准形,解（1）,（行阶梯形）,2行阶梯形矩阵,定义2.11一个矩阵称为行阶梯形矩阵，如果从第一行起，每行第一个非零元素前面零的个数逐行增加，一旦出现零行，则后面各行（如果有的话）都是零行,如下面的阶梯形矩阵,行标准型,下面形式的矩阵称为行标准型,下面形式的矩阵称为标准型,3.定理2.3,设A是一个m行n列矩阵，通过行初等变换可以把A化为如下行标准型,4定理矩阵A可经初等变换化为标准形:,（1）.已知分别将A的第一、二行互换和将A的第一列的2倍加到第二列，求出相应的初等矩阵,并用矩阵乘法将这两种变换表示出来。,解交换A的第一、二行，可用二阶初等矩阵左乘A：,将A的第一列的2倍加到第二列，即用三阶初等矩阵右乘A：,2.5.2初等矩阵,1.初等矩阵的定义（定义2.12）,由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。,对应于三种行初等变换，可以得到三种行初等矩阵。,人们从大量的实际计算中发现：对经过一次初等变换等同于对矩阵左乘或右乘一个适当的矩阵，此矩阵就是下面的所谓初等矩阵。,对于n阶单位矩阵I，交换E的第行，得到的初等矩阵记作：,(2)用非零数k乘以I的第行，得到的初等矩阵记作:,(3)将I的第行的倍加到第行，得到的初等矩阵记作：,(4)同样用列初等变换可以得到相应的的初等矩阵,2.初等矩阵之间的关系,3.可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；,4.初等矩阵与初等变换之间的关系；,1）.先看下面的例题,1）行初等矩阵左乘矩阵,（3）.列初等矩阵右乘矩阵,2）.结论,定理2.4A为矩阵,对A进行初等行变换等同于用相应的行初等矩阵左乘A，对A进列变换等同于用相应的列初等矩阵右乘A。,5.矩阵等价,定义2.13若矩阵A经过行（列）初等变换可化为B则称A与B行（列）等价。若矩阵A经过初等变换可化为B则称A与B等价,6.初等矩阵可逆性,初等矩阵是可逆的，且有,7.结论,定理2.6可逆矩阵A可表示为有限个初等矩阵的积，进一步可以表示为有限个行初等矩阵的积；也可以表示为有限个列初等矩阵的积。,证明：因为任意矩阵A，有行、列初等矩阵,使得,因A可逆，所以A的标准形中不可能有零行，从而r=n,即有,于是有,证毕,初等矩阵的逆还是初等矩阵，故A初等矩阵的积。,又行初等矩阵与列初等矩阵可以互换，故A可以是行初等矩阵的积或列初等矩阵的积。,定理2.5矩阵A与B等价当且仅当存在可逆的P与Q，使得PAQ=B.特别地，矩阵A等价于A的标准形。,证明：初等矩阵的积是可逆；任何矩阵一定可以经过初等变换化为标准形；可逆矩阵一定可以表成有限初等矩阵的积,8.可逆矩阵的逆的求法,A可逆,则有行初等行矩阵,使得,则有,记,则有行初等矩阵,使得,上面的推导，提供了一种新的求矩阵的简单方法，举例如下：,例4求A的逆矩阵,例5求A的逆矩阵,解,2.6矩阵的秩,2.6.1矩阵的秩的概念(Rankofamatrix),1.定义在mn矩阵A中，任取k行k列（km，kn），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。,2.定义2.14如果矩阵A有一个不等于零的r阶子式D，并且所有的r+1阶子式（如果有的话）全为零，则称D为矩阵A的最高阶非零子式，称r为矩阵A的秩，记为R(A)=r，并规定零矩阵的秩等于零。,4.由矩阵的秩的定义易得：,（1）矩阵A的秩既不超过行数也不超过列数,（2）矩阵A的秩等于矩阵A的转置矩阵的秩。不为零的常数k与矩阵A的积的秩等于矩阵A的秩。,（3）n阶矩阵A的秩等于n充要条件是A为可逆矩阵（满秩矩阵）。,（4）若A有一个r阶子式不等于零，则r(A)大于等于r;若A所有一个r+1阶子式等于零，则r(A)小于等于r。,例20求下列矩阵的秩,解：A是一个阶梯型矩阵，容易看出，A中有一个三阶子式不为0，而所有的四阶子式全为0，故R(A)3。,对于B，可以验证R(B)2。因为中有一个二阶子式不为0，而所有的三阶子式（四个）全为0，,2.6.2用初等变换求矩阵的秩,定理2.7初等变换不改变矩阵的秩,证明从前面的讨论显然有上面的结论,从上面的例题很容易看出：阶梯型矩阵的秩易求，因此我们用初等变换方法求矩阵的秩,例21用初等变换求下列矩阵的秩,故A的秩为3,定理2.8设矩阵A，可逆的P与Q，则,r(PA)=r(A),2.6.3矩阵秩的不等式,r(AQ)=r(A),r(PAQ)=r(A),证明从前面的讨论显然有上面