十字相乘法讲义

9.15 十字相乘法教学目标:1.理解十字相乘法的概念 2.掌握用十字相乘的方法,分解二次项系数为1的二次三项式. 3.通过课堂交流思考,形成从特殊到一般,从具体到抽象的思维品质.教学重点:用十字相乘的方法,分解二次项系数为1的二次三项式.教学难点:如何运用十字相乘的方法来因式分解.教学突破口:从乘法公式中的多项式乘以多项式的公式,利用逆向思维,找出公式 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab中的a,b,使a+b等于一次项系数,ab等于常数项.教学过程: 9.15十字相乘法一、复习导入：计算口答:1. (x+2)(x+1) 2. (x-2)(x+3) 3. (x-1)(x-5) 4. (x+3)(x-4)(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x4) (3) (x3)(x+4) (4) (x3)(x4)2问题：你有什么快速计算类似多项式的方法吗?在多项式的乘法中,有(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + ab 二、探索新知1、观察与发现:等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算.反过来可得 x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解.2、体会与尝试：试一试 因式分解: x2 + 4x + 3 ； x2 2x 3将二次三项式x2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为xx，常数项3分解为31，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). x +3 x +1 3x + x = 4x定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.拆一拆 将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）： 6= ； 12= ； 24= ； -6= ； -12= ； -24= .练一练 将下列各式用十字相乘法进行因式分解：(1) x2 7x + 12； (2) x24x12； (3) x2 + 8x + 12； (4) x2 11x12； (5) x2 + 13x + 12； (6) x2 x12；一. 复习引入.回顾一下多项式乘以多项式的乘法公式: (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab那么我们说,x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)符号规律:q0 时,a,b同号,且a,b符号与 q相同. q0时,a,b 异号,且绝对值大的因数的符号与p相同.二. 新课探究:1. 如何将x2+3x+2分解因式? (不是完全平方公式,因此不能用完全平方公式来分解.) 小组讨论,进行探究. 如果没有结论,则提示: x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 我们只要使二次三项式中x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)找出规律:只要使二次三项式中常数项q化为ab,即两数之积;把一次项系数p化为(a+b),即两数之和,就可以了.则x2+3x+2= x2+(1+2)x+12=(x+1)(x+2)我们也可以借助十字交叉线来分解,即把x2分解为xx, 常数项2分解为12. x2+3x+2=(x+1)(x+2) x 2 x1则x+2x=3x. 定义:利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.2. 体会与尝试. 1).因式分解:x2+4x+3 x2+7x+6 2).试一试:把下列各数表示为两个整数的积的形式(尽可能多的表示出来).6= -6= 12= -12= 24= -24= 3. 例1.分解因式.1) x2-7x+12 2). x2-11x-12 3). x2-4x-12 4). x2+8x+125). x2+13x+12 6). x2-x-12(通过对比,找出分解的规律,让学生感受成功的喜悦!)符号规律:q0 时,a,b同号,且a,b符号与 q相同. q0时,a,b 异号,且绝对值大的因数的符号与p相同.4.例2.分解因式: 1) x2+5xy-24y2 2). x4-5x2-36 3).(2x+y)2+6(2x+y)-27三.练一练. 1). x2+8x-20 2). x2-5x-24 3). x2+12x+27 4). x2-3x-4 1). x2+6xy-16xy 2).x4+13x2+36 3).(a+b)2-15(a+b)+56 4).(a2+a)2-8(a2+a)+12 5).a x4-14ax2-32a例题：1、把m+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-112，-26，-34，-43，-62，-121当-12分成-26时，才符合本题 解：因为 1 -2 1 6 所以m+4m-12=（m-2）（m+6） 2、解方程x-8x+15=0 分析：把x-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成115，35。 解： 因为 1 -3 1 -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 练习：1把5x+6x-8分解因式 2解方程 6x-5x-25=0 例3把14x-67xy+18y分解因式 分析：把14x-67xy+18y看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为114,27, 18y可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 7 -2y 所以 14x-67xy+18y= (2x-9y)(7x-2y) 例4把10x-27xy-28y-x+25y-3分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式 解法一、10x-27xy-28y-x+25y-3 =10x-（27y+1）x -（28y-25y+3） 4y -3 7y -1 =10x-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 2 -（7y 1） 5 4y - 3=2x -（7y -1）5x +（4y -3） =（2x -7y +1）（5x +4y -3） 说明：在本题中先把28y-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为：2x -（7y -1）5x +（4y -3） 解法二、10x-27xy-28y-x+25y-3 2 -7y5 4y=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 x -7y 1 5 x +4y -3=（2x -7y）+1 （5x +4y）-3 =（2x -7y+1）（5x +4y -3） 说明:在本题中先把10x-27xy-28y用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为（2x -7y）+1 （5x +4y）-3. 练习题：x27x6 x25x6 x