专题：阿氏圆与线段和最值问题(含答案)

专题：阿氏圆和线段及最大值问题近年来，以阿氏圆(阿波罗尼乌斯圆)为背景的几何问题在中考数学中经常出现，对这类问题的摘要和分析非常重要。具体内容包括：阿氏圆定理(全名：阿波罗尼乌斯圆定理)具体而言，从一动点p到两定点a、b距离之比等于一定比(1 )，p点的轨迹是以连接一定比内分和外分定线段AB这两个点的线为直径的圆。 这个轨迹最初是由古希腊数学家阿波罗尼乌斯发现的，这个圆被称为阿波罗尼乌斯圆，简称阿氏圆。阅读理解定理无聊，阿氏圆问题型为常见的PA kPB，(k1)P点的运动轨迹为圆或圆弧问题型kpb是(k1)P点的运动轨迹为圆或圆弧的问题类型阿氏圆基本解法：构建母子三角形的相似性例题1、问题在于，如图1那样，在RtABC中，ACB=90、CB=4、CA=6、4444444444444卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653(1)尝试解决此问题：为了解决此问题，如图2所示，连接CP，在CB上取点d，设CD=1时，=PCD=bcp，铿铿锵锵锵锵锵锵653完成馀下的思考，直接写下答案： AP BP的最小值为(2)自主探索：“提出问题”的条件不变时，AP BP的最小值为(3)扩展：已知在扇形COD中，COD=90、OC=6、OA=3、OB=5、点p为前点，求出2PA PB的最小值【分析】(1)可利用勾股定理求出，最小值为AD=；(2)如果CP被连接至CA，点d被取作CD=，则能够验证PCD -ACP，并获得PD=AP (即，AP BP=BP PD )，因此，AP BP的最小值是BD(3)延长OA点e，设CE=6，连接PE、OP，证明OAPOPE，得到EP=2PA，得到2PA PB=EP PB，在e、p、b三点共线的情况下，得到最小值【解答】解： (1)如图1所示连接AD要使AP BP=AP PD和AP BP最小化APad最小，点a、p、d在同一直线上时，APad最小AP BP的最小值是AD在RtACD中，CD=1、AC=6AD=AP BP的最小值为，因此答案如下：(2)如图2所示连接CP，在CA上取点d，CD=咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔653222222222卡卡卡卡卡卡卡6PD=APAP BP=BP PD利用同步(1)的方法获得的AP BP的最小值是BD=。答案如下：(3)如图3所示将OA点e延长到CE=6OE=OC CE=12连接PE、OPOA=3咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔6222222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡EP=2PA2PA PB=EP PB在e、p、b三点共线的情况下，最小值为BE=13 .该问题是圆的综合问题，主要考察勾股定理、相似三角形的判定和性质、极值的确定，还考察了学生的阅读理解能力，解决该问题的关键在于基于材料中的构想构建PCDACP和oapope，也是解决该问题的难点例题2、问题背景在图1中，ABC中BC=4、AB=2AC。请写下满足问题第一个搜索条件的AB和AC值： AB=，AC=问题在于再次研究图2，在AC的右侧设CAD=B，将交点BC的延长线设为点d，求出CD的长度求解问题ABC面积的最大值【分析】问题的初探：设AC=x，则根据AB=2x、三角形的三边间的关系得知2 x、x 4，解开x的范围，在该范围内确定AC的值的话就能得到答案问题再探索： CD=a，AD=b，证DAC2222222222222222222222问题解决方法：如果设AC=m，AB=2m，则从面积表达式中得到SABC=2m，从馀弦定理中得到cosC，可结合简化后的SABC=，m可取范围，并可利用二次函数的性质求解【解答】解：问题首先探讨，设AC=x，则AB=2xBC=42x x4且2x x4答案： x4设x=3，则AC=3、AB=6答案是六三问题再探索，CAD=b，D=D222222222222222222226=，设CD=a、AD=b时了解：CD=；设问题解决、AC=m、AB=2m时根据面积式，SABC=ACBCsinC=2msinC=2m根据馀弦定理cosC=SABC=2m=2m=根据三角形的三边关系m4因此，在m=情况下，SABC取最大值.本问题主要考察三角形的三边关系、相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用，求解问题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式、馀弦定理以及二次函数的性质例题3，如图所示，AC=6、BC=8、AB=10、44444卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653对于BD，最小值为_【解答】例题4、ABC中AB=9、BC=8、873、2222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653连接PB、PC后，3PC 2PB的最小值为_【解答】21练习1 .如图所示，在平面正交坐标系中，当点a (4，0 )、b (4，4 )、点p在半径为2的圆o上移动时，AP BP的最小值为.图像取点k (1，0 )，连接OP、PK、BK。 从pok -AOP获得=，在PBK中，获得PB PKBK，并且PB PA=PB PK的最小值具有长度BK。解：如图所示，取点k (1，0 )，连接OP、PK、BK .OP=2，OA=4，OK=1=，咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔222222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡=PK=PAPB PA=PB PK在pbk中为PB PKBKPB PA=PB PK的最小值为BK的长度b (4，4 )、k (1，0 )BK=5.答案是5本问题考察了坐标和图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点间的距离式等知识，解决问题的关键在于运用学习的知识来解决问题，用转换的思想来学习问题是中考填空问题中的核心问题2 .如图所示，正方形ABCD的边长为4，44444卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡6如果BE=1，BP，PE被切换到BC，则根据正方形的性质，当BC=4=CD，BP=2，EC=3，pbecbp，PE=PC，即点d，点p，点e这三个点是公共线时，PD PE是最小值，即，PD PC是最小值如图所示，在BC上切取BE=1，连接BP、PE正方形ABCD的边长为4，44444444444444446BC=4=CD、BP=2、EC=32卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡耶6pbeCBP2220PE=PCPD PC=PD PE在点d、点p、点e这3点为共用线情况下，PD PE为最小值，即PD PC为最小值PD PC的最小值是DE=5答案是“5”本问题考察了正方形的性质、与圆相关的知识、相似三角形的判定和性质，并追加适当的辅助线结构建立相似三角形是本问题的关键3 .如图所示，四边形ABCD是边长为4的正方形，88撒但b的半径为2，p是- b上的可动点，PD PC的最小值为PD 4PC的最小值【分析】如图所示，如果连接PB、对BC取e来证明be=1.pbecbp，则计算PD PC=PD PE，能够通过三角形的三边关系PE PDDE解决问题如果连接db、PB，在BD上取e，连接BE=、EC，将ef、bc认证为f.pbedbp，则计算出=、PE=PD、PD4- PC=4(PD-PC )=4(PE-PC )，能够通过三角形的三边关系PE PCEC解决问题解：如图所示连接PB，BC取e时BE=1。PB2=4，BEBC=4PB2=BEBC咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔622222222222222222222652=PD PC=PD PEPE PDDE在RtDCE中为DE=5PD PC的最小值为5连接DB、PB，在BD上取e，连接BE=、EC，将EFBC设为f。PB2=4，BEBD=4=4BP2=BEBD咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔653222222222222222222222=PE=PDPD 4PC=4(PD PC)=4(PE PC )PE PCECRtEFC中EF=，FC=，EC=PD 4PC的最小值为10答案是五十本问题考察轴对称的最短问题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，求解问题的关键是利用数学结合的思想解决问题，学习基于相似三角形解决问题是中考填空问题的中心问题4 .如图所示，将半圆半径设为1、将AB设为直径、将AC、BD设为切线、将AC=1、BD=2、p设为前面的点，求出PC PD的最小值.如图所示，在a、p、d共线情况下，PC PD最小，能够通过PC PD=pm PD=DM=ad、am进行计算.解：如图所示，a、p、d为共用线时，PC PD最小。理由： PB、CO、AD和CO相交于点mAB=BD=4，BD是切线ABD=90，BAD=D=45ab是直径APB=90PAB=PBA=45PA=PB，POABAC=PO=2，ACPO四边形AOPC为平行四边形OA=OP，AOP=90四边形AOPC是正方形PM=PCPC PD=PM PD=DM1111222国际航空公司此时PC DP最小=ad、am=2本问题考察切线性质、轴对称-最短问题、正方形判定和性质、直角等腰三角形判定和性质等知识，求解问题的关键在于找到点p的位置，学习在特殊点上探索问题，找到解决问题的突破口，属于试验常规试题类型5 .如图所示，在RtABC中，以A=30、AC=8、c为中心，将4设为半径- c。(1)试验性地判断- c和AB的位置关系，说明理由(2)点f是1111122卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653(3)点e是AB边上任意点，在(2)的情况下，尝试求出EF FA的最小值.【分析】(1)结论：切线. cmab是m .证明CM=4就能解决问题(CF=4、CD=2、CA=8、CF2=CDCA、挤出=、挤出FCD=ACF、挤出fcd咔嗒咔嗒咔嗒咔嗒咔嗒咔嗒咔嗒(3) deab就是e，交2222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653【解答】(1)解：结论：正切理由：把CMAB变成m在RtACM中，AMC=90、CAM=30、AC=8CM=AC=42222222222222卡卡卡卡卡卡653CM=rab是- c的切线(二)证明：CF=4，CD=2，CA=8CF2=CDCA铮铮铮铮铮6222222222卡卡卡卡卡卡卡卡653(3)解： deab是e，交- c是f。22222222222222222222653=DF=ACEF AF=EF DFEF AF的最小值是用于要求EF DF的最小值当e和e 、f和f 重叠时，EF DF值最小，最小值=de=ad=3.本问题考察了圆整合问题、切线判定与性质、相似三角形判定与性质、垂线段最短等知识，求解问题的关键在于通过追加常用辅助线、正解切线的证明方法，学会正确寻找相似三角形来解决问题，利用垂线段来解决问题，是中考的轴问题6 .问题在于，如图1所示，等边ABC为ab=12，4444444444，气体6(1)尝试解决问题：为了解决这个问题，如图2所示，连接CP，在CB上取点d，设CD=3，另外，=-PCD=bcp铮铮铮铮铮铮铮6PD=BP，2222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡完成馀下的思考，直接写下答案： AP BP的最小值为(2)自主搜索：在图3、矩形ABCD中，BC=7、AB=9、p是矩形内部的一点，PB=3、AP PC的最小值是.(3)扩展：如图4所示，在扇形COD中，o为圆心，COD=120，OC=4，OA=2，OB=3，点p为前点，求出2PA PB的最小值，描绘图像并写入求解过程【分析】(1)从等边三角形的性质可以求出CF=6，AF=6，从勾股定理可以求出AD的长度(2)通过将BF=1切取为ab，并连接PF、PC，可以得到ABPpbf、PF=AP即AP PC=PF PC，在原点f、原点p、原点c这三个点是共用线路的情况下，AP PC的值变为最小，能够根据转移定理求出AP PC的值的最小值(3)延长oc，设CF=4，设BF、OP、PF，通过点f为FBOD，由此，能够得到AOP