周益春-材料固体力学习题解答习题二

-第二章在练习1的初始时间，粒子在某个时间的位置是，这里计算格林应变张量的分量。解使用拉格朗日描述法根据格林应变张量，练习2被证明是二阶对称张量的一个分量，而不是任何张量。证明，显然可以得到它的对称性对于笛卡儿笛卡儿坐标系和，每个坐标轴之间的方向余弦如下从弹性力学的理论来看，它正好符合张量的定义。是二阶对称张量的一个分量(2)存在一个剪切应变张量，其分量那么，取任何向量，但不能简化为，与假设相反的是张量。根据张量的商规则，它不是任何张量的组成部分。在练习3中，为了获得平面应变分量，电阻应变仪分别连接到方向和和方向。测得的应变值用、表示，并试图找到，解在平面应变状态下，沿方向的方向余弦和方向总和分别为根据定向线元的工程正应变公式寻求练习4假设体积不可压缩位移很小，并且在某个区域是已知的，其中，是常数。问题条件适用于小变形体积是不可压缩的，也就是说，练习5在平面应变条件下，用直角坐标和极坐标中应变分量和位移分量的转换公式，写出极坐标中应变和位移的关系。解在平面应变状态下，得到应变分量转换公式(1)替代，就是(2)(3)(4)因此，(5)(6)将方程(2)-(6)代入方程(1)，得到平面应变状态下极坐标中应变与位移的关系：练习7证明由以下公式确定的应变总是满足变形协调方程。证明对于具有三阶以上连续偏导数的单值连续位移场，偏导数的值与导数的阶数无关。关于对称。关于对称性对于排列符号关于，反对称；关于，反对称也就是说，应变总是满足变形协调方程。练习8假设当一个物体被加热到一个恒定的温度场时，应变分量为：其中是线性膨胀系数，试着根据应变协调方程确定温度场的函数形式。解由应变协调方程获得此外，稳态温度场应满足拉普拉斯方程。因此，的函数形式不应包含高于或等于2倍的项温度场的函数形式是其中、和是常数。练习9尝试推导平面应变轴对称的应变协调方程解对于轴对称平面应变，应变分量为因此，轴对称平面应变的应变协调方程为练习10在平面轴对称变形的条件下，轴向应变是常数，试着确定其余两个应变分量之和的表达式(材料是不可压缩的)解在平面轴对称的情况下，变形协调条件为：当材料不可压缩时，体积应变为零，即代入上述公式，我们得到在公式中，c是由右边界条件确定的常数练习11问什么样的表面在均匀变形后会变成球形。均匀变形状态可以表示为哪里是常数如果均匀变形前的坐标为，则变形后的坐标为曲面在均匀变形后变成球面，即忽略刚体位移，当、为主轴时，满足变形前的坐标。变形前半轴为的椭球体在均匀变形后会变成球形。特别是，在当时，这意味着球面在均匀变形后仍然是球形的。练习12如果一个物体中每个点的位移分量都是常数。试证明物体中所有点的应变分量都是常数(这种变形状态称为均匀变形)，并分别证明有：(1)变形后直线仍为直线；(2)同一方向的直线以相同的比例膨胀和收缩；证明物体中每个点的应变分量是从位移器获得的(3)将式(3)代入式(2)中，排序得到(4)方程(4)表明，在均匀变形后，直线仍然是直的(2)变形前两点之间的直线长度为，方向余弦为，变形后对应两点的直线长度为，方向余弦为，和(图2.1)将式(2)代入上式，得到(5)将上述公式的两端除以，得到(7)和(6)对于具有相同方向和相同方向余弦的直线，在均匀变形的条件下，方程(6)和(7)被称为常数。也就是说，同一方向的直线以相同的比例膨胀和收缩；练习13物体的位移与坐标原点对称。球坐标和笛卡尔坐标用于表示位移和应变分量。解如果位移相对于坐标原点是对称的，那么任