新课标高中数学必修①第三章-函数与方程精讲

新课标高中数学必修精讲精练精讲 第三章 函数的应用第20讲 3.1.1 方程的根与函数的零点学习目标：结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；掌握零点存在的判定条件.知识要点：1. 对于函数，能使的实数叫作函数的零点，函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标.2. 函数零点存在结论：若函数的图象在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且，则函数在区间内有零点.例题精讲：【例1】函数的零点一定位于区间（ ）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5)解：易知函数在定义域内是增函数. ，. ，即函数的零点在区间(2,3). 所以选B.【例2】利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）； （2）.解：（1）易知函数在定义域R上是减函数.用计算器或计算机作出的对应值表或图象.-3-2-10123341341-2-11-32由列表或图象可知，即，说明函数在区间内有零点，且仅有一个. 所以函数的零点所在大致区间为.（2）易知函数在定义域R上是增函数. 用图形计算器或计算机作出图象. 由图象可知，即，说明函数在区间内有零点，且仅有一个. 所以函数的零点所在大致区间为.【例3】求证方程在内必有一个实数根.证明：设函数. 由函数的单调性定义，可以证出函数在是减函数.而，即，说明函数在区间内有零点，且只有一个. 所以方程在内必有一个实数根.点评：等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想，它是将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化. 此题可变式为研究方程的实根个数.【例4】（1）若方程在内恰有一解,则实数的取值范围是 .（2）已知函数，若在上存在，使，则实数m的取值范围是 .解：（1）设函数，由题意可知，函数在内恰有一个零点. ， 解得. （2）在上存在，使， 则， ，解得. 所以， 实数m的取值范围是.点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式第20练 3.1.1 方程的根与函数的零点基础达标1函数的零点个数（ C ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定2若函数在内恰有一解，则实数的取值范围是（ B ）. A. B. C. D. 3函数的零点所在区间为（ C ） A. （1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （2，3）4方程lgxx0在下列的哪个区间内有实数解（ B ）. A. -10，-0.1 B. C. D. 5函数的图象是在R上连续不断的曲线，且，则在区间上（ D ）. A. 没有零点 B. 有2个零点 C. 零点个数偶数个 D. 零点个数为k，6函数的零点是 . 2或37函数零点的个数为 . 3能力提高8已知函数图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.x21.510.500.511.52 f (x)3.511.022.371.560.381.232.773.454.89答案：在（2，1.5）、（0.5，0）、（0，0.5）内有零点.9已知二次方程的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求的取值范围.解：设=，则=0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).所以，即， 探究创新10已知：（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；（2）如果函数两个零点在原点左右两侧，求实数的取值范围.解：（1），解得且.（2）或. 解得第21讲 3.1.2 用二分法求方程的近似解学习目标：根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 知识要点：给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： A确定区间，验证，给定精度； B. 求区间的中点；C. 计算： 若，则就是函数的零点； 若，则令（此时零点）； 若，则令（此时零点）；D. 判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤BD例题精讲：【例1】借助计算器，方程在区间（2，3）内的根是 （精确到0.1）解：令，则， 又 ， 在区间2.1875,2.25内有零点，且2.25-2.1875=0.0625 B. C. D. 2如图,能使不等式成立的自变量的取值范围是（ D ）. A. B. C. D. 3某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20，则第四年造林（ C ）. A. 14400亩 B. 亩 C. 17280亩 D. 20736亩4某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被面积可增长为原来的y倍，则函数的大致图象为（ D ）5某人2003年1月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率为x，并按复利计算，到2008年1月1日可取回款（A ）. A. a(1+x)5元 B. a(1+x)6元 C. a(1+x5)元 D. a(1+x6)元6老师今年用7200元买一台笔记本. 电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一. 三年后老师这台笔记本还值 . 7某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价的百分数是 . 能力提高8某人有资金2000元，拟投入在复利方式下年报酬为8%的投资项目，大约经过多少年后能使现有资金翻一番？（下列数据供参考：lg2=0.3010，lg5.4=0.7324，lg5.5=0.7404，lg5.6=0.7482）. 解：设经过x年后能使现有资金翻一番，则，即.两边取对数，有. 所以，经过10年后才能使现有资金翻一番.9 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？解：（1） ， 为减函数. 随时间的增加，臭氧的含量是减少.（2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则，即， 两边去自然对数，解得. 287年以后将会有一半的臭氧消失.探究创新10袁隆平中国杂交水稻之父.他带领的杂交水稻研究小组经过30多年的不懈研究，于1973年使水稻亩产达到623千克，亩产比一般常规水稻增产20左右，2000年亩产达到700千克，2004年亩产又达到800千克. （1）根据这样的研究速度，你能猜想中国于2010年杂交水稻的亩产为多少千克？为什么？（2）根据你的推算，2010年我国杂交水稻的亩产比1973年常规水稻的亩产增长率为多少？第23讲 3.2.1 几类不同增长的函数模型（二）学习目标：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 体验二次函数函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.知识要点：1. 模型优选：解答数学建模等应用问题时，往往并不确定所给出的数学模型，需要我们根据所得的数据，分析出其数字特征，选用适合的函数模型来解决实际问题.2. 二次函数：应用二次函数的有关知识，可解决生产、生活实际中的最大（小）值的问题. 解答时需遵循的基本步骤是：（1）反复阅读理解，认真审清题意；（2）依据数量关系，建立数学模型；（3）利用数学方法，求解数学问题；（4）检验所得结果，译成实际答案. 关键之处是第2步正确得到二次函数的模型，然后才能在第3步中利用二次函数的性质解决问题.例题精讲：【例1】有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是p万元和q万元，它们与投入的资金x万元的关系有经验公式：p=x，q=. 现有资金9万元投入经销甲、乙两种商品，为了获取最大利润，问：对甲、乙两种商品的资金分别投入多少万元能获取最大利润？解：设对乙商品投入x万元，则对甲商品投入9x万元. 设利润为y万元，. y=， 当=2,即x=4时，ymax=1.3.所以，投入甲商品5万元，乙商品4万元时，能获得最大利润1.3万元.【例2】某商店按每件80元的价格，购进时令商品（卖不出去的商品将成为废品）1000件；市场调研推知：当每件售价为100元时，恰好全部售完；当售价每提高1元时，销售量就减少5件；为获得最大利润，商店决定提高售价x元，请将获得总利润y元表示为x的函数，并确定合理售价，求出最大利润. 解：设比100元的售价高元，总利润为元；则. 显然，当即售价定为150元时，利润最大；其最大利润为32500元.【例3】某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线. （1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？解：（1）当0t1时，y=4t；当t1时，此时在曲线上， ，这时. 所以.（2） ， 解得 ， . 服药一次治疗疾病有效的时间为个小时. 点评：生活中有许多实际问题，常作为函数模型的应用背景. 我们需依据四步曲“读题理解建模转化求解问题检验作答”求解，从冗长的文字语言中精炼出数学语言，选择合适的数学模型来研究. 【例4】某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，小时内供水总量为吨，（）.从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨? 解：设小时后蓄水池中的水量为吨，则.令，则，即. 当，即时，所以，从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨. 点评：运用二次函数的模型，常解决一些最大（小）值的问题，对生产生活等问题进行优化.第23练 3.2.1 几类不同增长的函数模型（二）基础达标1某工厂生产总值月平均增长率为p，则年平均增长率为（ A ）. A. p B. 12p C. (1+p)12 D. (1+p)1212某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ D ）. A. 克 B. (10.5%)3克 C. 0.925克 D. 克31980年我国工农业总产值为a亿元，到2000年工农业总产值实现翻两番的战略目标，年平均增长率至少达到（ A ）. A. 1 B. 1 C. 1 D. 14某商品2002年零售价比2001年上涨25，欲控制2003年比2001年只上涨10，则2003年应比2002年降价（ B ）. A. 15 B. 12 C. 10 D. 85向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（ B ）. 6计算机成本不断降低,若每隔三年计算机价格降低，则现在价格为8100元的计算机9年后价格可降为 2400 元. 7某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是 1200 元.能力提高8某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个.为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0x0，t表示大于或等于t的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ A ）. A. 5.83元 B. 5.25元 C. 5.56元 D. 5.04元5已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数式是（ D ）. A. x=60t B. x=60t+50t C. x= D. x=6在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过节20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重克的函数，其表达式为 . 7已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24，设质量为1的镭经过年后的剩留量为，则的函数解析式为 . 能力提高8某冬晨，警局接到报案，在街头发现一位流浪者的尸体，早上六点测量其体温13，到早上七点时，其体温下降到11. 若假设室外温度约维持在10，且人体正常体温为37，运用牛顿冷却模型可以判定流浪汉已死亡多久？解：设流浪汉在早上时刻死亡，根据牛顿冷却模型，有，即，则，解得.所以可以判定在早上4点死亡，已死亡2个小时.9某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入函数为（万元）（0x5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）. （1）把利润L(x)表示为年产量x的函数； （2）年产量是多少时，工厂所得的利润最大?解：（1）当年产量x5（百台）时，产品能全部售出，其利润为. 当x5（百台）时，只能售出5百台时，此时利润为.所以，利润.（2）当年产量x5（百台）时，即当（百台），取最大值（万元）.当x5（百台）时，利润为减函数.所以，年产量是475台时，工厂所得的利润最大.探究创新10通过研究学生的行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间. 讲座开始时，学生的兴趣急增；中间有一段不太长的时间，学生的学习兴趣保持较理想的状态，随后学生的学习兴趣开始分散. 分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出和讲授概念的时间（单位分）可以使用公式：. （1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能持续多长时间？ （2）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟时间，教师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？ （3）如果每隔5分钟测量一下学生的接受能力，在计算平均值，它能高于45吗？解：（1）当时，=，故其递增，最大值为，显然在上，递减，因此开讲后10分钟达到最强的接受状态，并维持6分钟.（2）当时，令，得；当时，令，得；因此学生达到55的接受能力的时间为，教师来不及在学生达到最佳接受状态时就结束讲授.（3）计算得，达不到45. 第25讲 3.2.2 函数模型的应用举例（二）学习目标：收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例，了解函数模型的广泛应用. 体会解决实际问题中建立函数模型的过程，进一步加深对这些函数的理解与应用.知识要点：1. 图表分析：从给出的统计数据表中发现数学规律，寻找存在的数学模型，并用之解决实际问题.2. 函数图象：把实际中存在的规律用图象直观形象的表示出来，通过图象来求解函数模型.例题精讲：【例1】某商场经销一批进货单价为40元的商品,销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/元50515253545556日均销售量/个48464442403836为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？解：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个. 设销售单价定为x元，则每个利润为（x40）元，日均销量为个.由于，且，得.则日均销售利润为，.易知，当，y有最大值. 所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理.点评：从表格中发现存在的变化规律，是课标教材中对提价后销量减少一类应用问题相比大纲教材的改进. 这种表格背景更符合实际，规律都是从样本数据中发现，而不是直接生硬地得到，同时也提高了读表分析这一数学阅读理解能力.【例2】某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售天内全部售完. 该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）. （1）分别写出国内市场的日销售量、国外市场的日销售量与第一批产品A的上市时间的关系式；（2）第一批产品A上市后，求日销售利润的解析式.解：（1）当时，设，由解得k=2，则.当时，设，由解得，则.所以，国内市场的日销售量.设，由解得. 所以，国外市场的日销售量（）.（2）设每件产品A的销售利润为，由图易得，从而这家公司的日销售利润的解析式为 . 点评：销售量由图象分段给出，设立各段图象的解析式，由待定系数法易求解. 单件利润也是分段函数. 解题的关键在于合理分段，正确得到日销售利润的分段函数式.第25练 3.2.2 函数模型的应用举例（二）基础达标1某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下图中，纵轴表示离开家的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生走法的是（ C ）.2某工厂八年来某种产品年产量C与时间t（年）的函数关系如图所示，下列四种说法： 前三年中产量增长的速度越来越快；前三年中产量增长的速度越来越慢；三年后，这种产品停止生产了；第三年后，年产量保持不变. 其中说法正确的是（ A ）. A. B. C. D. 3某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元水费收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为（ A ）. A. 13 立方米 B. 14 立方米 C. 18 立方米 D. 26立方米4有一块长为20厘米,宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子. 则盒子的容积V与x的函数关系式是（ C ）. A. B. C. D. 5有一块“缺角矩形”地皮ABCDE，其尺寸如右图，欲用此块地建一座地基为长方形的建筑物，以下四个方案中，哪一种地基面积最大（ A ）. 61999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，即储蓄利息的20%由各银行储蓄点代扣代缴，某人在1999年11月1日存入人民币1万元，存期1年，年利率为2.25%，则到期可净得本金和利息总计 10180 元. 7一个高中研究性学习小组对本地区2000年至2002年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 85 万盒. 能力提高月份1234567价格(元/担)687867717270？8为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小. 下表列出的是该产品前6个月市场收购价格. 试问7月份该产品的市场收购价格定为多少时较为合理？解：设市场收购价格a与前三个月的市场收购价格之差的平方和为S，则 =， 当a=71时，S取最小值. 所以，7月份该产品的市场收购价格定为71元时较为合理. 9某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的200天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条线段表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示. （注：市场售价和种植成本的单位：元/，时间单位：天）（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？解：（1）由图1可得市场售价与时间的函数关系为 由图2可得种植成本与时间的函数关系为.（2）设纯收益为，由题意得.配方整理得，当t50时，最大值100.所以，从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大. 10. 解：（1）当时，水费； 当时，水费.所以，水费，其中.（2）由于一、二月份的水费都超过14元，所以一、二月份的用水量超过最低限量，三月份的用水量没有超过最低限量. 则，解得，.探究创新 10探究创新10我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的. 某市用水收费方法是：水费基本费超额费损耗费. 该市规定：月份用水量（m3）水费（元）一417二523三11（i）若每月用水量不超过最低限量立方米时，只付基本费9元和每户每月的定额损耗费元； （ii）若每月用水量超过立方米时，除了付基本费和损耗费外，超过部分每立方米付元的超额费；（iii）每户每月的损耗费不超过5元. 根据以上规定，解决如下问题：（1）求每户每月水费（元）与月用水量（立方米）的函数关系式；（2）该市一家庭去年第一季度每月的用水量和支付的费用如右表所示，试分析一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求、的值. 解：（1）依据题意每月用水量为x立方米，支付费用y元，则其中（2）第26讲 3.2.2 函数模型的应用举例（三）学习目标：收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例，了解函数模型的广泛应用. 体会解决实际问题中建立函数模型的过程，进一步加深对这些函数的理解与应用.知识要点：模型优选：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.例题精讲：【例1】有一批影碟机（VCD），原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售. 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？解：设某单位需要购买台影碟机，甲、乙两商场的购货款的差价为，去甲商场购买共花费，由题意，有，.，即y=（）.当时，； 当时，；当时，.所以，若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少【例2】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数（其中为常数，且）或指数型函数（其中为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.解：当选用的模型时， 解得， .当选用的模型时， ，解得， .根据4月份的实际产量可知，选用作模拟函数较好.点评：根据所给出的几种函数模型，用待定系数法确定系数后，再根据所求得的函数解析式检验其余的一些数据，通过比较误差的大小而优选适合的函数模型.【例3】我国从1990年至2000年间，国内生产总值（GDP）（单位：亿元）如下表所示：年份19901991199219931994199519961997199819992000生产总值18598.421662.526651.934560.54667057494.966850.573142.776967.180422.889404 根据表中数据，建立能基本反映这一时期国内生产总值变化的函数模型，并利用所建立的函数模型，预测2010年我国的国内生产总值.解：由表中数据作出散点图，如右图所示.根据散点图，可以看出大致分布在一条直线附近. 选择1990年、2000年的数据代入，得，解得.所以，近似的函数模型为.当x=2010时，y=.6，即预测2010年我国的国内生产总值为.6亿元.点评：根据收集到的数据，作散点图，通过观察图象的特征，选用适合的函数模型，也可以利用计算器或计算机的数据拟合功能，作出具体的函数解析式，再通过所得到的函数模型解决相应的问题. 本题由两点近似求得直线，如果由以后的线性回归知识求解，所得模型则更接近实际情况.第26练 3.2.2 函数模型的应用举例（三）基础达标1某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加面积分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加面积数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是（ C ）. A. B. C. D. 2某债券市场发行的三种值券：甲种面值为100元，一年到期本利共获103元；乙种面值为50元，半年期本利共50.9元；丙种面值为100元，但买入时只付97元，一年到期拿回100元，这三种投资收益比例从小到大排列为（ B ）. A乙，甲，丙 B甲、丙、乙 C甲、乙、丙 D丙、甲、乙3今有一组数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据（ C ）. A B C D4某新产品电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量与投放市场的月数之间关系的是（ C ）. A. B. C. D.时间t50110