函数零点问题中参数范围的求解

在函数零点问题中求解参数范围江山中学 杨作义王芳根据函数的零点情况，讨论参数的范围”是高考考查的重点和难点对于这类问题，我们可以利用零点定理、数形结合思想、函数单调性与参数分离思想来求解 一、利用零点定理求解参数范围如果函数在上连续且满足，则在区间上至少存在一个零点，即存在，使得这就是零点定理对于高中阶段常遇到的问题：“已知连续函数在上单调，且在区间上存在一个零点，求参数的范围”可用求解例1 2012年高考数学天津卷（理科）第4题改编 已知函数在区间内存在一个零点，则实数的取值范围是 解：因为函数在区间内存在一个零点，故，整理得，解得所以，实数的取值范围是二、利用数形结合思想求解参数范围如果通过变形，可以将函数转化为两个函数之差的形式，那么图象交点的横坐标就是函数的零点因此对于含参数函数，我们可以利用数形结合思想作出的图象，并根据两图象的交点情况求解参数范围把原函数转化为两个函数时，要注意转化得到的两个函数的图象应该是比较容易画出的在作图时，要利用函数奇偶性、单调性等性质，并标注出函数图象上的零点、最高点、最低点等一些特殊点，尽量把图象画准确，避免误判图1例2 2011年高考数学北京卷（理科）第13题 已知函数若关于的方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是 解：当时，此时在上单调递减，且。当时，此时过点，且在上单调递增。当时，。如图1所示作出函数的图象，由图可得在上单调递增且，在上单调递减且，故当且仅当时，关于的方程有两个不等的实根即实数的取值范围是三、利用函数单调性求解参数范围如果函数在上单调递增或递减，则在上至多只有一个零点反之，如果函数在上单调且存在零点，那么必然成立对于某些形式复杂的函数，如果直接作出其图象有困难，我们可以先通过求导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，再观察函数图象与直线的图象的交点通过平移直线确定交点个数，即可求解参数范围. 图2例3 2013年高考数学北京卷（文科）第18题第(2)问已知函数若曲线与直线有两个不同的交点，求实数的取值范围解：因为，所以当时，在上单调递增；当时，在上单调递减当时，当趋近于或时，都有。如图2所示，要使曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是四、利用参数分离法求解参数范围如果函数或方程中的参数变量能被分离出来，形成形式，函数的零点问题就转化为与轴平行的直线和函数的图象的交点问题通过讨论函数的单调性或值域，即可判断函数的零点,由此可得参数范围.利用参数分离法求解,可以回避对参数取值情况的讨论.例4 2013年高考数学陕西卷(理科)第21题第(2)问已知函数，讨论曲线与曲线公共点的个数解：曲线与曲线公共点的个数即方程的解的个数，也就是方程的解的个数令，则当时，在上单调递减；当时，在上单调递增所以又当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于所以，当时，曲线与曲线无公共点；当时，它们有1个公共点；当时，它们有2个公共点【练一练】1已知函数有且仅有一个正实数的零点，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)2已知函数，若函数在上有3个零点，求实数的取值范围【参考答案】1.B ( 提示：当时，函数零点为，满足题意；当时，若，解得，由此可得是唯一零点，满足题意；若，则函数与坐标轴有两个不同的交点因为，所以不是函数的零点.若函数开口向上，则两个零点必定同为正或同为负，不合题意，只有当开口向下时，函数的两个零点一正一负，符合题意此时有解得.综上可得)图32.解：，其图象为开口向上的二次图象,零点为,结合可得，当时，；当时，所以函数在和上单调递增，在上单调递减故，此外，如图3所示，作出函数的大致图象，要使函数在上有3个零点，只要使函数在上的图象与直线有3个交点即可由图3可