数字信号处理－第四章.ppt

1,线性相位FIR数字滤波器的特性窗口设计法（时间窗口法）频率取样法FIR数字滤波器的最优化设计（自学）IIR与FIR数字滤器的比较,内容提要,第四章FIR滤波器设计方法,2,滑动滤波器,滑动滤波器的幅频相频特性,3,相位延迟,4,相位失真,相位失真的影响,5,4.1线性相位FIR数字滤波器的特性,4.1.1线性相位的条件线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数，即,式中为常数，此时通过这一系统的各频率分量的时延为一相同的常数，系统的群时延为,6,线性相位FIR滤波器的DTFT为,幅度函数,相位函数,实部、虚部各自相等，实部虚部比值也相等,7,第一类线性相位的充要条件,8,第二类线性相位特性,另外一种情况是：除了上述的线性相位外，还有一附加的相位，即,利用类似的关系，可以得出新的解答为,9,第二类线性相位的充要条件,10,线性相位特性,11,4.1.2幅度特性,12,1.h(n)偶对称，N为奇数h(n)=h(N-1-n),13,2.h(n)偶对称，N为偶数h(n)=h(N-1-n),14,故不能设计成高通、带阻滤波器,15,3.h(n)奇对称，N为奇数h(n)=-h(N-1-n),16,只适合设计带通,17,4.h(n)奇对称，N为偶数h(n)=-h(N-1-n),18,h(n)为奇对称时，有900相移，适用于微分器和900移相器，而选频滤波器采用h(n)为偶对称时,不能设计低通、带阻,19,4.1.2幅度特性,对=0,2偶对称,对=0,2偶对称对=奇对称,对=0,2奇对称,对=0,2奇对称对=偶对称,不能设计成高通、带阻滤波器,只能设计成带通滤波器,不能设计低通、带阻滤波器,20,四种线性相位FIRDF特性，参考P142表4.1第一种情况，偶、奇数，四种滤波器都可设计。,第二种情况，偶、偶数，可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻。第三种情况，奇、奇数，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。第四种情况，奇、偶数，可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻。,21,例1N=5,h(0)=h(1)=h(3)=h(4)=-1/2,h(2)=2，求幅度函数H()。解为奇数并且h(n)满足偶对称关系a(0)=h(2)=2a(1)=2h(3)=-1a(2)=2h(4)=-1H()=2-cos-cos2=2-(cos+cos2),22,4.1.2小结,四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。幅度特性取决于h(n)。设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：当H()用H()表示时，当H()为奇对称时，其相频特性中还应加一个固定相移。,23,4.1.3线性相位FIR滤波器的零点特性,2）h(n)为实数，则零点共轭成对,1）若z=zi是H(z)的零点，则z=zi-1也是零点,24,线性相位FIR滤波器的零点特性,单位脉冲响应为实数的线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对，即共轭成对且镜像成对,25,4.2窗口设计法（时域）,w(n)：窗函数序列,要选择合适的形状和长度,26,理想低通滤波器的幅度响应及脉冲响应,27,截短并移位的脉冲响应,28,实际滤波特性,0.5,29,设计步骤：,1.由理想频率响应得到理想的；由得到因果、有限长的单位抽样响应；2.对加窗得到较好的频率响应。,1,2,3,3,30,一.矩形窗口法,则,a.对于给定的理想低通滤波器，计算,：低通滤波器的延时,31,理想特性的hd(n)和Hd(),非因果,这是一个以为中心的偶对称的无限长非因果序列，如果截取一段n=0N-1的hd(n)作为h(n)，则为保证所得到的是线性相位FIR滤波器，延时应为h(n)长度N的一半,即,32,其中,b.计算,33,c.计算设为窗口函数的频谱:用幅度函数和相位函数来表示，则有其线性相位部分则是表示延时一半长度，,34,对频响起作用的是它的幅度函数,Mainlobe,35,理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式其中幅度函数为两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有,36,如果也以幅度函数和相位函数来表示,则实际FIR滤波器的幅度函数为正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。,37,38,39,N-1,40,吉布斯效应及改善：这种由于截断而产生的理想滤波器的幅度特性的波动现象称为吉布斯效应。它使得截断后产生的FIR滤波器特性与理想特性之间有误差。分析误差产生的原因和影响误差的因素可以设计出特性更加好的FIR滤波器。,41,结论：为了改善逼近效果，需要选用主瓣狭窄，旁瓣相对低的窗函数。但这两项要求往往不能同时满足。因为过渡带宽可以用提高阶数N来满足设计要求，所以工程上主要是选取旁瓣相对低的窗函数来对理想冲击响应序列进行截断。,讨论：,42,窗函数要满足以下两点要求：,窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。,43,1.矩形窗,主瓣宽度最窄：,旁瓣幅度大,窗谱：,幅度函数：,44,2.汉宁窗（升余弦窗）利用付氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数W（）可用矩形窗的幅度函数表示为：,45,旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣主瓣宽度增加,46,3.汉明窗（改进的升余弦窗）它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一零点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内。,与汉宁窗相比：主瓣宽度相同旁瓣峰值更小，小于主瓣峰值的1%,47,频谱的幅度函数为：增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，为。增加N可减少过渡带。,4.布莱克曼窗（二阶升余弦窗）,48,49,窗口函数的频谱N=51，A=20lg|W()/W(0)|,四种窗函数的比较,50,51,52,以上四种窗函数，都是以增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。,I0(x)是零阶修正贝塞尔函数，参数可自由选择，决定主瓣宽度与旁瓣衰减。越大，w(n)窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。一般取4N时，hM(n)hd(n),窗口设计法的主要工作是计算hd(n)和w(n)，当较为复杂时，hd(n)不容易由反傅里叶变换求得。这时一般可用离散傅里叶变换代替连续傅里叶变换，求得近似值：令,频域采样,IDFT(IFFT),65,窗函数法的设计步骤,给定理想的频率响应函数及技术指标,求出理想的单位抽样响应,根据阻带衰减选择窗函数,计算频率响应，验算指标是否满足要求,根据过渡带宽度确定N值,求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应,66,公式法：,对M点等间隔抽样：,67,68,直接截取的频率特性,凯塞窗设计的频率特性,69,线性相位FIR低通滤波器的设计,例：设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率，,通带截止频率，,阻带起始频率，,阻带衰减不小于50dB，幅度特性如图所示,70,2）求hd(n),71,4）确定N值,3）选择窗函数：由确定汉明窗（-53dB）,72,5）确定FIR滤波器的h(n),73,线性相位FIR低通滤波器的设计例子,例：设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为10kHz,通带边缘频率为2kHz,阻带边缘频率为3kHz,阻带衰减40dB,74,线性相位FIR高通滤波器的设计,其单位抽样响应：,理想高通的频响：,75,线性相位FIR带通滤波器的设计,其单位抽样响应：,理想带通的频响：,76,线性相位FIR带阻滤波器的设计,其单位抽样响应：,理想带阻的频响：,77,设计例子,用汉明窗设计一个线性相位带通滤波器,N=51,78,用低通滤波器设计带通滤波器,79,用低通滤波器设计高通滤波器,80,4.3频率采样设计法,一、基本思想使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其它频率处的特性则有较好的逼近。,内插公式,81,二.设计方法,1）确定2）计算3）计算,82,三、约束条件,为了设计线性相位的FIR滤波器，采样值H（k）要满足一定的约束条件。前已指出,具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)是实序列，且满足，由此得到的幅频和相频特性，就是对H(k)的约束。（表4.1）。,83,令则必须满足偶对称性：而必须取为：,例如，要设计第一类线性相位FIR滤波器，即N为奇数，h(n)偶对称，则,幅度函数H（）应具有偶对称性：,84,因此，Hk也必须满足奇对称性：相位关系同上，其它两种线性相位FIR数字滤波器的设计，同样也要满足幅度与相位的约束条件。,同样，若要设计第二种线性相位FIR滤波器，N为偶数，h(n)偶对称，由于幅度特性是奇对称的，,85,四、逼近误差,由或H（z）。由上述设计过程得到的与的逼近程度，以及与H（k）的关系？由,86,内插公式,87,在每个采样点上，逼近误差为零，频响严格地与理想频响的采样值H(k)相等；在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；反之，误差大。在理想频率响应的不连续点附近，会产生肩峰和波纹。N增大，则采样点变密，逼近误差减小。,88,梳状滤波器,梳状滤波器,89,例：设计一个FIR数字LP滤波器，其理想特性为采样点数N=33，要求线性相位。解：根据P142的表4.1，能设计低通线性相位数字滤波器的只有1、2两种，因N为奇数，所以只能选择第一种。即h(n)=h(N-1-n)，幅频特性关于偶对称，也即HK偶对称。利用HK的对称性,求2区间的频响采样值。,90,根据指标要求，在02内有33个取样点，所以第k点对应频率为而截止频率0.5位于之间，所以，k=08时，取样值为1；根据对称性，故k=2532时，取样值也为1，因k=33为下一周期，所以0区间有9个值为1的采样点，2区间有8个值为1的采样点，因此：,91,将代入内插公式，求H(ej)：,考虑到8k25时Hk=0，而其它k时，Hk=1,令k=33-n，则,92,93,从图上可以看出，其过渡带宽为一个频率采样间隔2/33，而最小阻带衰减略小于20dB。对大多数应用场合，阻带衰减如此小的滤波器是不能令人满意的。,94,1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。例如在本例中可在k=9和k=24处各增加一个过渡带采样点H9=H24=0.5，使过渡带宽增加到二个频率采样间隔4/33，重新计算的H(ej)见图4.12(c)，其阻带衰减增加到约-40dB。,增大阻带衰减三种方法：,95,2）过渡带的优化设计根据H(ej)的表达式，H(ej)是H(k)的线性函数，因此还可以利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值，得到要求的滤波器的最佳逼近（而不是盲目地设定一个过渡带值）。例如，本例中可以用简单的梯度搜索法来选择H9、H24,使通带或阻带内的最大绝对误差最小化。要求使阻带内最大绝对误差达到最小（也即最小衰减达到最大），可计算得H9=0.3904。对应的H(ej)的幅频特性，比H9=0.5时的阻带衰减大大改善,衰减约-50dB。如果还要进一步改善阻带衰减，可以进一步加宽过渡区，添上第二个甚至第三个不等于0的频率取样值，当然也可用线性最优化求取这些取样值。,增大阻带衰减三种方法：,96,3）如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带宽，可增加采样点数N,增大阻带衰减三种方法：,例如，同样截止频率c=0.5,以N=65采样，并在k=17和k=48插入由阻带衰减最优化计算得到的采样值H17=H48=0.5886,在k=18、47处插入经阻带衰减最优化计算获得的采样值H18=H47=0.1065,得到的H(ej)，过渡带为6/65,阻带衰减增加了20多分贝，达-60dB以上，当然，代价是滤波器阶数增加，运算量增加。,97,小结：频率采样设计法优点：直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值。典型应用：用一串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，覆盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度；缺点：截止频率难以控制。因频率取样点都局限在2/N的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板。充分加大N，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。,98,4.4FIR数字滤波器的最优化设计（自学）,最优化设计的前提是最优准则的确定，在FIR滤波器最优化设计中，常用的准则有最小均方误差准则最大误差最小化准则。1)均方误差最小化准则，若以E(ej)表示逼近误差，则那么均方误差为,99,1)均方误差最小化准则,均方误差最小准则就是选择一组时域采样值，以使均方误差，这一方法注重的是在整个-频率区间内总误差的全局最小，但不能保证局部频率点的性能，有些频率点可能会有较大的误差，对于窗口法FIR滤波器设计，因采用有限项的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近误差为：如果采用矩形窗则有可以证明，这是一个最小均方误差。优点是过渡带较窄，缺点是局部点误差大,或者说误差分布不均匀。,100,表示为其中F是根据要求预先给定的一个频率取值范围，可以是通带，也可以是阻带。最佳一致逼近即选择N个频率采样值（或时域h(n)值），在给定频带范围内使频响的最大逼近误差达到最小。也叫等波纹逼近。优点：可保证局部频率点的性能也是最优的，误差分布均匀，相同指标下，可用最少的阶数达到最佳化。例如，我们提到的频率采样最优化设计，它是从已知的采样点数N、预定的一组频率取样和已知的一组可变的频率取样（即过渡带取样）出发，利用迭代法（或解析法）得到具有最小的阻带最大逼近误差（即最大的阻带最小衰减）的FIR滤波器。但它只是通过改变过渡带的一个或几个采样值来调整滤波器特性。如果所有频率采样值（或FIR时域序列h(m)）都可调整，显然，滤波器的性能可得到进一步提高。,2最大误差最小化准则（最佳一致逼近准则）,101,低通滤波器的误差分配,102,切比雪夫最佳一致逼近如图，用等波纹逼近法设计滤波器需要确定五个参数：M、p、r、1、2按上图所示的误差容限设计低通滤波器，就是说要在通带0p内以最大误差1逼近1，在阻带r内以最大误差2逼近零。要同时确定上述五个参数较困难。常用的两种逼近方法：1）给定M、1、2，以p和r为变量。缺点：边界频率不能精确确定。2）给定M、p和r，以1和2为变量，通过迭代运算，使逼近误差1和2最小，并确定h(n)切比雪夫最佳一致逼近。特点：能准确地指定通带和阻带边界频率。,103,104,一.误差函数定义逼近误差函数：,为所设计的滤波器与理想滤波器的幅频特性在通带和阻带内的误差值，是已知的权函数，在不同频带可取不同的值，所要设计的滤波器的幅频特性理想滤波器的幅频特性,105,例如，希望在固定M,p,r的情况下逼近一个低通滤波器，这时有,对于表4.1中的第一种滤波器，,106,于是,切比雪夫逼近问题变为，寻求一组系数使逼近误差的最大值达到最小，即,给定后等效于求最小。,107,二.交替定理（最佳逼近定理）令F表示闭区间的任意闭子集，为了使在F上唯一最佳地逼近于,其充分必要条件是误差函数在F上至少应有（M+2）次“交替”，即其中，且属于F。1）至少有M+2个极值，且极值正负相间，具有等波纹的性质，2）由于是常数，所以的极值也就是的极值。,108,借助于低通滤波器的设计，可以直观地解释这个定理。这时，闭子集F包括区间和。因为滤波器频响是逐段恒定的，所以对应于误差函数各峰值点的频率同样也对应于恰好满足误差容限时的频率。根据前面的讨论，在开区间内至多有M-1个极值，此外，根据通带和阻带的定义，令的约束条件为，,，再加上和处的极值，误差曲线最多有M+1个极值频率（交替）满足定理。,109,逼近方法：固定k、M、和，以作为参变量。按照交错定理，如果F上的M+2个极值点频率已知，则由（1）式可得到M+2个方程：,为极值点频率对应的误差函数值,110,注意：极值点频率必须位于和区间内。由于和固定，因而和必为这些极值频率中的一个，设，则应有求解上述方程组可得到全部系数。问题：1）实际情况下，M+2个极值点频率未知；2）直接求解上述非线性方程组比较困难。,雷米兹（Remez）算法给出了求解切比雪夫最佳一致逼近问题的方法。,111,雷米兹交替算法,112,三.雷米兹（Remez）算法,1）在频率子集F上均匀等间隔地选取M+2个极值点频率,113,2）由求和利用重心形式的拉格朗日插值公式，,其中,如在频带F上，对所有频率都有，则为所求，即为极值点频率。,114,3）对上次确定的极值点频率中的每一点，在其附近检查是否在某一频率处有，如有，则以该频率点作为新的局部极值点。对M+2个极值点频率依次进行检查，得到一组新的极值点频率。重复步骤1）、2），求出，完成一次迭代。重复上述步骤，直到的值改变很小，迭代结束，这个即为所求的最小值。由最后一组极值点频率求出，反变换得到,完成设计。优点：可准确确定；逼近误差均匀分布，相同指标下，滤波器所需阶数低。,115,有一些估算公式可用于决定最佳滤波器长度N：,对于窄带低通滤波器，对滤波器长度N起主要作用：,116,117,4.5IIR与FIR数字滤器的比较,低,118,FIR滤波器,119,与本章内容有关的MATLAB文件：,产生窗函数的文件有八个：bartlett（三角窗）;2.blackman（布莱克曼窗）;3.boxcar（矩形窗）;4.hamming（哈明窗）;5.hanning（汉宁窗）;6.triang（三角窗）;7.chebwin（切比雪夫窗）;8.kaiser（凯赛窗）;,两端为零,两端不为零,调用方式都非常简单请见help文件,稍为复杂,120,9fir1.m用“窗函数法”设计FIRDF。调用格式：（1）b=fir1(N,Wn);(2)b=fir1(N,Wn,high);(3)b=fir1(N,Wn,stop);N：阶次，滤波器长度为N1；Wn：通带截止频率，其值在01之间，1对应Fs/2b:滤波器系数。,121,10fir2.m本文件采用“窗函数法”设计具有任意幅频相应的FIR数字滤波器。其调用格式是：b=fir1(N,F,M);F是频率向量，其值在01之间，M是和F相