柯西不等式的应用技巧

柯西不等式的应用技巧 浙江省江山中学 杨作义（手机：；邮箱：）普通高中课程标准实验教科书数学选修45不等式选讲安排了“柯西不等式”的内容，它是我省高考的选考内容之一柯西不等式的一般形式是：设，则当且仅当或时等号成立其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强本文对此略作探讨，供大家参考一、巧配数组观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构造两组数：，便是应用柯西不等式的一个主要技巧例1 已知求的最小值分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻求不等式取等号的条件题中要求最小值的式子是三部分的平方和，若能配凑上另外三个数的平方和，并使对应项的乘积是常数，问题便迎刃而解解：对照柯西不等式,两组数可取为利用柯西不等式有等号当且仅当且时成立所以的最小值为评注： 运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了，找出适当的两组数是解此类题的关键例设，求证：分析：对照柯西不等式的原型，构造两组数为：证明：由所以，原不等式成立二、巧拆常数运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧例 设、为正数且各不相等，求证： .分析：、均为正为证结论正确，只需证：，为此，我们利用与这两个常数进行巧拆，这样就给我们运用柯西不等式提供了条件证明： 又、各不相等，故等号不能成立 原不等式成立评注：对要证的不等式做适当的变形，巧拆常数是解答本题的关键三、巧添项根据柯西不等式的特点，适当添补（或加或乘）上常数项或和为常数的项等，也是运用柯西不等式的解题技巧例设非负实数满足求的最小值（1982年西德数学奥林匹克试题）解： +1=同理可得+1=+1=令故+为了利用柯西不等式，注意到+=+等号当且仅当时成立，从而有最小值评注：运用柯西不等式求极值，要注意验证等号能否成立有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误例设求证： （1984年全国高中数学联赛题）分析：为证原不等式成立，只需证，即在原不等式的左端乘以因式，右端乘以因式，添上了这个因式，就可以应用柯西不等式了证明：由柯西不等式，得 于是 .评注：合理地添项，巧妙地添项，使得运用柯西不等式成为可能四、巧变结构有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的例、为非负数，+=1，求证：分析：不等号左边为两个二项式的积，因为，所以每个二项式可以使用柯西不等式，但直接做得不到预想结论，当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。证明：（+=1）评注：根据需要重新安排各个量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的效果这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧例设求证：分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，不妨改为证：证明：为了运用柯西不等式，我们将写成于是即