高中数学竞赛(07-11)试题之立体几何教师版

高中数学竞赛（07-11年）试题分类汇总立体几何一、选择题1. （07全国）正四棱锥PABCD中，APC=60，则二面角APBC平面角余弦值为（ B ）A. B. C. D. 解：如图，在侧面PAB内，作AMPB，垂足为M。连结CM、AC，则AMC为二面角APBC的平面角。不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得。在AMC中，由余弦定理得。2. （08全国）若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ）A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3解 设这三个正方体的棱长分别为，则有，不妨设，从而，故只能取9，8，7，6若，则，易知，得一组解若，则，但，从而或5若，则无解，若，则无解此时无解若，则，有唯一解，若，则，此时，故，但，故，此时无解综上，共有两组解或体积为cm3或cm33.（08江苏）设a，b是夹角为30的异面直线，则满足条件“，且”的平面， 答： D A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对解 任作a的平面，可以作无数个. 在b上任取一点M，过M作的垂线. b与垂线确定的平面垂直于. 选D.4.（08湖南）连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和，、分别为、的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：弦、可能相交于点 弦、可能相交于点的最大值为5 的最小值为1其中真命题为（ ）A. B. C. D.解答：假设、相交于点，则、共面，所以、四点共圆，而过圆的弦的中点的弦的长度显然有，所以是错的容易证明，当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心两侧时，最大为，故对当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心同侧时，最小为1，故对.显然是对的显然是对的.故选5.（08江西）四面体的六条棱长分别为，且知，则 .、； 、； 、； 、答案：.解：四面体中，除外，其余的棱皆与相邻接，若长的棱与相邻，不妨设，据构成三角形条件，可知，于是中，两边之和小于第三边，矛盾。6.（08浙江）圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AMMP，则P点形成的轨迹的长度为（ B ）A. B. C. 3 D.7.（10浙江）在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是( C )A60 B75 C90 D105解答：C。建立空间直角坐标系，以所在的直线为轴，在平面上垂直于 的直线为轴，所在的直线为轴。则，。8.（11浙江）设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）2231 221 22 正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（），所以该几何体的体积为。正确答案为A。二、填空题1.（07全国）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于_。解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上。在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则。同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条。在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，所以弧FG的长为。这样的弧也有三条。于是，所得的曲线长为。2.（08全国）一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 解 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面/平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，垂足为的中心因答12图1 ，故，从而记此时小球与面的切点为，连接，则考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2记正四面体的棱长为，过作于答12图2 因，有，故小三角形的边长小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分） 又，所以由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为3.（09湖北）已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点则四面体的体积为4.（10全国）正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则 .解：如图， .设与交于点 则 .从而平面 .过在平面上作,垂足为.连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中，,即 .又 .5.（08河北）在三棱锥中，则三棱锥体积的最大值为 答案：.解：设，根据余弦定理有，故，由于棱锥的高不超过它的侧棱长，所以.事实上，取，且时，可以验证满足已知条件，此时，棱锥体积可以达到最大6.（08江西）四面体中，面与面成的二面角，顶点在面上的射影是的垂心，是的重心，若，则 答案：解：设面交于，则因，故在上，且，于是，在三角形中，由余弦定理得7（11浙江）直三棱柱，底面是正三角形，P，E分别为，上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且。则直线的夹角为_。解答：因为平面ABC平面，ADBC，所以AD平面，所