高考文科函数与导数解答题题型归纳

函数与导数题型一、导函数与原函数图象之间的关系例题1、如果函数yf(x)的图象如右图，那么导函数yf(x)的图象可能是（ ）例题2、设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是（ ）题型二、利用导数求解函数的单调性问题例题3、(08全国高考)已知函数f(x)x3ax2x1，aR()讨论函数f(x)的单调区间；()设函数f(x)在区间(，)内是减函数，求a的取值范围解：()f(x)=3x2+2ax+1，判别式=4(a2-3)，()若或，则在上f(x)0，f(x)是增函数；在内f(x)0，f(x)是减函数；在上f(x)0，f(x)是增函数。()若，则对所有xR都有f(x)0，故此时f(x)在R上是增函数；()若，则，且对所有的都有f(x)0，故当时，f(x)在R上是增函数。()由()知，只有当或时，f(x)在内是减函数，因此，且，当时，由解得a2，因此a的取值范围是2，+)。例题4、（08年四川）设和是函数的两个极值点.求和的值求的单调区间.解：（）f(x)=5x4+3ax2+b，由假设知f(1)=5+3a+b=0，f(2)=245+223a+b=0，解得；（）由（）知，当时，f(x)0，当x(-2，-1)(1，2)时，f(x)0，因此f(x)的单调增区间是，f(x)的单调减区间是(-2，-1)，(1，2)。例题5、（2009安徽卷文）（本小题满分14分） 已知函数，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）讨论的单调性； （）设a=3，求在区间上值域。期中e=2.71828是自然对数的底数。已知某可导函数在某区间上的单调区间，求参数的取值范围例题6、（2010江西卷文）设函数（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由分析：（1）先求原函数的导函数，根据导函数在极值点处的值为零建立等式关系，求出参数a即可；（2）根据二次函数的判别式进行判定能否使导函数恒大于零，如果能就存在，否则就不存在例题7、（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数 （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；，或 （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围 例题8、（2009重庆卷文）（本小题满分12分） 已知为偶函数，曲线过点，（）求曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；（）若当时函数取得极值，确定的单调区间题型三、求函数的极值、最值问题例题9、（2009北京文）设函数.（）若曲线在点处与直线相切，求的值； a=4, b=24（）求函数的单调区间与极值点. 是的极大值点，是的极小值点.解：（）求导函数，可得f（x）=3x23a曲线y=f（x）在点（2，f（x）处在直线y=8相切，a=4，b=24（）f（x）=3（x24）=3（x+2）（x2）令f（x）0，可得x2或x2；令f（x）0，可得2x2函数的单调增区间为（，2），（2，+），单调减区间为（2，2）x=2是函数f（x）的极大值点，x=2是函数f（x）的极小值点例题10、（2010年全国）已知函数（）设，求的单调区间；（）设在区间（2,3）中至少有一个极值点，求的取值范围.1) f(x)=3x2-6ax+3=3(x2-4x+1)=0, x=2+5, 2-5 x=2+5 or x=0,f(x)单调增 2-5=x=2+5,f(x)=0- a=1 or a0- a0, 因此a1 即(2,3)中只有一根, f(2)f(3)0 (5-4a)(10-6a) 5/4a5/3 综合得： 5/4a1()讨论f(x)的单调性; 在是减函数()若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围。w.w.w（1，6）解：(I)f(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)，由a1知，当x2时，f(x)0，故f(x）在区间（-，2）是增函数；当2x2a时，f(x)0，故f(x)在区间(2，2a)是减函数；当x2a时，f(x)0，故f(x)在区间(2a，+)是增函数，综上，当a1时，f(x)在区间（-，2）和(2a，+)是增函数，在区间(2，2a)是减函数()由(I)知，当x0时，f(x)在x=2a或x=0处取得最小值，f(2a)=(2a)3-(1+a)(2a)2+4a2a+24a，由假设知，即，解得1a6，故a的取值范围是(1，6)变式：设（1） 求函数的单调区间（2） 若在区间上存在实数，使得成立，求实数的取值范围。题型五、方程的根及函数的零点问题 方程的根例题14、 (2009江西文)设函数 （1）对于任意实数，恒成立，求的最大值； （2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围 像如或.下。解：(1)f(x)=3x2-9x+6=3(x-3/2)2-3/4又f(x)m恒成立，那么只需满足f(x)的最小值恒大于等于m即可f(x)min=-3/4 m的最大值为-3/4(2)f(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2)令f(x)=0.=x=1或2 x(-，12，+)时，f(x)0.即f(x)为增x(1，2)时，f(x)为减函数 又f(x)=0有且仅有一个实根，说明与x轴只有1个交点那么就需要满足： f(1)0.=2.5-a0.=a0.=2-a0.=a2 a2f(1)a2.5 f(2)a2 a2.5例题15、（2006四川）已知函数，其中是的导函数（）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图像与直线只有一个公共点解：（）由题意，令，-1a1，对-1a1，恒有g(x)0，即，解得；故时，对满足-1a1的一切a的值，都有g(x)0；（），当m=0时，的图象与直线y=3只有一个公共点；当m0时，列表：，又f(x)的值域是R，且在上单调递增，当x|m|时函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点；当x|m|时，恒有，由题意得，即，解得；综上，m的取值范围是。例题16、（2008四川卷）（本小题满分14分）已知是函数的一个极值点。（）求；（）求函数的单调区间；（）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围解：（），x=3是函数的一个极值点，a=16；（）由（）知，x（-1，+），令f(x)=0，得x=1，x=3，f(x)和f(x)随x的变化情况如下：f(x)的增区间是（-1，1），（3，+）；减区间是（1，3）。（）由（）知，f(x)在（-1，1）上单调递增，在（3，+）上单调递增，在（1，3）上单调递减，又时，f(x)-；x+时，f(x)+；可据此画出函数y=f(x)的草图（图略），由图可知，当直线y=b与函数y=f(x)的图像有3个交点时，b的取值范围为例题17、已知，问是否存在实数使得的图像与有且只有三个交点?若存在求出，若不存在说明理由? 解析：（1）当t+14，即t4时，f（x）在t，t+1上单调递减，综上，h（t）=（2）函数y=f（x）的图像与y=g（x）的图像有且只有三个不同的交点，即函数的图像与x的正半轴且只有三个不同的交点当x（0，1）时，是增函数；当x=1或x=3时，是减函数；当x（3，+）时，是增函数；当x=1或x=3时， 当x充分接近0时，当x充分大时，要使函数的图像与x的正半轴有三个不同的交点.必须且只需即当7m0，求证：xln(1+x)例题20、已知函数，（1）求函数的单调递增区间；（2）若不等式在区间（0,+上恒成立，求的取值范围；（3）求证： 解：（1）（x0），令g（x）0，得0xe，故函数的单调递增区间为（0，e）（2）由，则问题转化为k大于等于h（x）的最大值又，令当x在区间（0，+）内变化时，h（x）、h（x）变化情况如下表：由表知当时，函数h（x）有最大