练习106(三重积分的计算(截面法和求体积))- 答案

练习册练习册 10106 6 三三重积分的计算重积分的计算（截面截面法法和求体积和求体积） （答案答案） 1、计算 zdv，其中积分区域是由平面0hhz和锥面0, 0 22 hRyx R h z 围成的闭区域。 解：画出积分区域（如右图所示） ， 222 ,0 ,z h R yxyxDyxhzzyx z ， 22 0 4 2 2 0 2 2 2 0 4 1 4 hR z h R dzz h R zdxdyzdzzdv h h D h z 。 2、计算 zdv，其中积分区域是由曲面4 222 zyx和zyx3 22 围成的闭区 域。 解：联立方程4 222 zyx和zyx3 22 ，求解得1z。画出积分区域，并用平面 1z把分成两部分 1 和 2 （如右图所示） ， 222 11 4 , 21 ,zyxyxDyxzzyx z ， zyxyxDyxzzyx z 3 , 10 , 22 22 ， 2 1 2 1 0 2 1 1 0 43 12 dzzzdzzzdxdyzdzdxdyzdzzdv zz DD 4 13 4 2 2 1 4 2 1 0 3 z zz 。 3、计算由曲面 22 yxz和zyx 22 所围立体的体积。 解：联立方程4 222 zyx和zyx3 22 ，求解得0z和 1z。 （方法 1：利用定积分）因为当10 z时，截面面积 2 zzS， 所以，立体的体积 6 1 0 2 1 0 dzzzdzzSV。 （方法 2：利用二重积分）设所围立体在xoy平面内的投影记为 xy D， 因为10 ,20 ,rrDxy， 所以，立体的体积 xy D dxdyyxyxV 2222 1 0 2 2 0 rdrrrd 6 。 （方法 3：利用三重积分） zyxzyxDyxzzyx z 222 , 10 ,， 所以，立体的体积 6 1 1 0 2 1 0 1 0 dzzzdzzSdxdydzdvV Z D 。 4、求球体 2222 Rzyx和Rzzyx2 222 公共部分的体积。 解：联立方程 2222 Rzyx和Rzzyx2 222 ，求解得 2 R z 。 （方法 1：利用定积分） 因为当 2 0 R z 时，截面面积 2 2zRzzS， 当Rz R 2 时，截面面积 22 zRzS， 所以，公共部分的体积 R R R R dzzSdzzSdzzSV 2 2 00 R R R dzzRdzzRz 2 22 2 0 2 2 2443 2 242 33333 RRRRR 3 12 5 R。 （方法 2：利用二重积分）设所围立体在xoy平面内的投影记 为 xy D（如右图所示） 。 因为 RrrDxy 2 3 0 ,20 ,， 所以，公共部分的体积 xy D dxdyyxRRyxRV 222222 R rdrRrRd 2 3 0 22 2 0 2 2 0 2 3 0 22 22 R R rdrRdrrRr 3 2 3 0 2 2 3 0 2 3 22 12 5 2 2 3 2 2R r RrR R R 。 （方法 3：利用三重积分） 记公共部分为，在平面 2 R z 以下的部分记作 1 ，在平 面 2 R z 以下的部分记作 2 （如图所示） 。 222 11 2 , 2 0 ,RRzyxyxDyx R zzyx z ， 2222 21 , 2 ,zRyxyxDyxRz R zyx z 所以，公共部分的体积 zz D R R D R dxdydzdxdy