线性代数 向量组的正交性

向量组的正交性向量组的正交性 一、向量的内积：一、向量的内积： 1.定义1：设有向量),( 2, 1n aaa?=),( 2, 1n bbb?= ）。，的内积，记为（与称为向量 nnb ababa+=? 2211 ），（ nnb ababa+? 2211 T i=），（)()(，（），（=ii ）（，）（kkkiii,)(,)(= ）（，）（,)(,)(+=+iv ），（)(v 2 22 2 2 1 =+= n aaa? 2.向量的单位化 1 11 = 为单位向量。 1 二、向量的夹角。二、向量的夹角。 三、向量的正交性：三、向量的正交性： 1.定义定义2.正交。与则称向量），若（, 0= 2.定义定义3. 即满足 两两正交，维非零向量个如果 m nm, 21 ? )( , 0ji ji =），（ 简称为正交组。为正交向量组, 21m ? 则称向量组 , 0, .=由定义知 若则与任何向量都正交 ).1 , 0 , 0(,),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 ( 21 ?= n eee 为正交向量组。也称为单位正交组或标准正交组。 3.正交向量组的性质正交向量组的性质 线性无关。 则为正交向量组设 mm , 2121 ?定理定理: 回忆:如何证明一组向量线性无关? 证: Okkk mm =+? 2211 设 0),(),( 2211 =+Okkk immi ? 0),(),(),( 2211 =+ mimii kkk? 则为正交向量组, 21m ? 0),(= iii k 00),(,= iiii kO即由于 为线性无关向量组。 m , 21 ? )( , 0ji ji =），（ ( i =1,2,m ) 问题问题:线性无关的向量组是否为正交组线性无关的向量组是否为正交组? 不是不是 ! ) 1 , 0 , 0(),1 , 0 , 1 ( 21 =反例： 例1 已知三维向量空间中两个向量 例1 已知三维向量空间中两个向量 = = = = 1 2 1 , 1 1 1 21 正交，试求使构成三维空间的一个正交基正交，试求使构成三维空间的一个正交基. 3 321 , 四 向量空间的正交基四 向量空间的正交基 . , , 21 2121 的正交基向量空间 是则称组是两两正交的非零向量 且的一个基是向量空间若 的正交基向量空间 是则称组是两两正交的非零向量 且的一个基是向量空间若 V V rr r ? ? 即 13123 23123 (,)0 (,)20 xxx xxx =+= =+= 解之得 132 ,0.xxx= = 3 1,x =若令则有 1 32 3 1 0 1 x x x = 由上可知构成三维空间的一个正交基由上可知构成三维空间的一个正交基. 321 , 则有 1323 (,)(,)0 = () 312312 : ,0,. T x xx =解设且分别与正交 五 规范正交基五 规范正交基 . , ,) ( , 3 21 21 21 的一个规范正交基是则称向量 两两正交且都是单位如果的一个基 是向量空间维向量设定义 的一个规范正交基是则称向量 两两正交且都是单位如果的一个基 是向量空间维向量设定义 Veee eeeR VVeeen r r n r ? ? ? . 21 21 0 0 , 21 21 0 0 , 0 0 21 21 , 0 0 21 21 4321 = = = = = = = =eeee 例如例如 ., 4 4321 的一个规范正交基为所以的一个规范正交基为所以Reeee . 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 4321 = = = = = = = = . 4的一个规范正交基 也为的一个规范正交基也为R 空间的标准正交基也不唯一空间的标准正交基也不唯一空间的标准正交基也不唯一空间的标准正交基也不唯一 12 12 , , r r e eeVV e ee ? ? 若是 的一个规范正交基 那么 中 任一向量 应能由线性表示 1 122rr e e e=+? 设表示式为 (1,2, ), , T ii TT iiiii ire e e e = = ?为求其中的系数用左乘上式 有 ( ,). T iii e e=即 六、向量组的正交规范化：六、向量组的正交规范化： 为线性无关向量组，令公式：设 m , 21 ? 1 11 12 22 ），（ ），（ = 11 = 2 22 23 1 11 13 33 ），（ ），（ ），（ ），（ = 1 11 1 2 22 2 1 11 1 = m mm mmmm mm ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ? ? 等价；与 mm i,)( 2121 ? 为正交组。 m ii,)( 21 ? 正交向量组。为单位化，即得到单位再将 m , 21 ? 正交化正交化 单位化单位化 施密特正交化过程施密特正交化过程 Schimidt 例例用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组 123 (1,1,1,1),(1, 1,0,4),(3,5,1, 1)= 正交规范化正交规范化. 解解先先正交化正交化， () 11 1,1,1,1= 12 221 11 (,) (,) = ()()()()1 , 1 , 1 , 1 1111 411 4 , 0 , 1, 1 + + + + + + = ( () )3 , 1, 2, 0 = = 取取 1323 3312 1122 (,)(,) (,)(,) = ()()() 814 3,5,1, 11,1,1,10, 2, 1,3 414 = ()1,1, 2,0= 再再单位化单位化， () 2 2 2 1213 0, 2, 1,30, 14141414 e = () 3 3 3 1112 1,1, 2,0,0 6666 e = 得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下 () 1 1 1 11 1 1 1 1,1,1,1, 22 2 2 2 e = a1 a3 a2 几几几几何何何何解解解解释释释释 b1 ; 11ab = = 221 1121 2 221 11 , (,) (,), 1 cab bba b cab bb b = 为在上的投影向量 即 ; 222cab = = c2 b2 , , 2133 平面上的投影向量 的在平行于为 平面上的投影向量 的在平行于为 bbac c3 123312 3132 3132 22 3313212 , , (,)(,) , 12 bbcab b cc a ba b cccbb bb =+=+ 由于故等于分别在上的投影 向量及之和 即 c31 c32 . 333cab = = b3 七、正交矩阵：七、正交矩阵： 1.定义定义4： 1 () TT nAA AEAAAn =若 阶方阵 满足或，则称 为 阶正交矩阵。 2.性质：性质：. 1)(= AnAi阶正交矩阵为若 也是正交矩阵。与阶正交矩阵为若 1 )( AAnAii T 也是正交矩阵。与阶正交矩阵为若BAABnBAiii,)( 3.正交矩阵的判定正交矩阵的判定: () 组。向量组为单位正交向量 的行（列）为正交矩阵定理：矩阵AaA nn ij = 仅证列向量组的情形。 ),( 21n A?= EAAA T =为正交矩阵 () n T n T T T AA ? ? 21 2 1 = = 100 010 001 ? ? ? ? E )( 0),( , 1),( ji jiii = 为单位正交向量组。即 n , 21 ? 方法一、用定理。 方法二、用定义。 方法一、用定理。 方法二、用定义。 正交吗？AA, 9/79/49/4 9/49/19/8 9/49/89/1 = = n T n T n T n n TTT n TTT ? ? ? ? 21 22212 12111 正交正交 ?, 9/79/49/4 9/49/19/8 9/49/89/1 1 = = AAT A ?, 744 418 481 1 = = AA TT ABBAB 9 1 9 1 1 = T ABAAB 81 1 9 1 9 1111 = 正交吗？AA, 744 418 481 = 不正交不正交 性质性质正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变 证明证明,为正交变换设为正交变换设Pxy = = .xx x Px Px yyy TTT T =则有=则有 定义若为正交阵，则线性变换称为正 交变换 定义若为正交阵，则线性变换称为正 交变换 Pxy = =P 八、正交变换：八、正交变换： 这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。 从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次 型的几何特征。 这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。 从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次 型的几何特征。 性质性质正交变换保持向量的内积不变正交变换保持向量的内积不变 1将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将 其单位化 1将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将 其单位化 ( ( ) );1 1T AA= = ( ( ) );2EAAT= = ( ( ) );3单位向量的列向量是两两正交的 单位向量的列向量是两两正交的A ( ( ) ).4单位向量的行向量是两两正交的 单位向量的行向量是两两正交的A 小结 2为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：2为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：A 求一单位向量，使它与求一单位向量，使它与 ( () ),1 , 1, 1 , 1 1 = = ( () ),1 , 1, 1, 1 2 = = ( (