人教版高中数学必修二《空间几何体》基础知识要点总结

第一章 空间几何体基础知识小结一、空间几何体的结构空间几何体如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体多面体一般地，我们把由若干个平面多边形转成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。旋转体我们把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。1、棱柱(1)结构特征一般地，有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共点叫做棱柱的顶点。(2)棱柱分类侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。(3)棱柱的性质侧棱都平行且相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。(4)正棱柱的性质侧棱与底面垂直，侧面是全等的矩形，过不相邻的两条侧棱的截面是矩形。两个底面与平行于底面的截面是全等的正多边形。侧面展开图为矩形。侧棱长等于此正棱柱的高。(5)特殊的四棱柱底面是四边形的棱柱叫做四棱柱。底面的平行四边形的四棱柱叫做平行六面体。侧棱垂直于底面的平行六面体叫做直平行六面体。底面的矩形的直平行六面体叫做长方体。底面是正方形的长方体叫做正四棱柱。侧棱长等于底面边长的正四棱柱叫做正方体。2、棱锥(1)结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥.这个多边形的面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。(2)棱锥的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。(3)正棱锥的概念如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥.正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的斜高。(4)正棱锥的性质侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，斜高相等。正棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形。正棱锥的高，侧棱和侧棱在底面上的射影组成一个直角三角形 (5)正四面体正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。 正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面为正三角形，其他三个面全等且都是等腰三角形就可以，不需要四个面全等且都是等边三角形。3、棱台(1)结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。原棱锥的底面与截面分别叫做棱台的下底面与上底面；其余的各面叫做棱台的侧面；相邻两个侧面的公共边叫做棱台的侧棱；侧面与底的公共顶点叫做棱台的顶点。(2)正棱台的概念用正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的侧面是全等的等腰梯形，它的高叫作正棱台的斜高。(3)正棱台的性质侧棱相等，各侧面是全等的等腰梯形，斜高相等。正棱台的两底面中心连线，相应边心距和斜高组成一个梯形。正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形。4、圆柱(1)结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线；经过圆柱的轴的截面称为圆柱的轴截面。(2)圆柱的性质平行于底面的截面与底面是大小相同的圆面；轴截面是全等的矩形，矩形的底边长等于圆柱底面的直径，高等于圆柱的母线长；圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的底边长等于圆柱底面的周长，高等于圆柱的母线长。5、圆锥(1)结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于轴的直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；直角三角形斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边都叫做圆锥的母线；经过圆锥的轴的截面称为圆锥的轴截面。(2)圆锥的性质平行于底面的截面都是圆面。轴截面是全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长等于圆锥的母线长，底长等于圆锥底面的直径。圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。6、圆台(1)结构特征用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分叫做圆台.以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆台。旋转轴叫做圆台的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面分别叫做圆台的上底面与下底面；不垂直于底边的腰旋转而成的曲面叫做圆台的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于底边的腰都叫做圆台的母线；经过圆台的轴的截面称为圆台的轴截面。(2)圆台的性质平行于底面的截面都是圆面；圆台的轴截面是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的底边长分别等于圆台上、下底面的直径，它们的腰长等于圆台的母线长；圆台的侧面展开图是扇环。7、球(1)结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.空间中到一定点的距离小于等于定长的点的轨迹叫做球。空间中到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做球面。半圆的圆心、半径、直径，在球体中分别叫做球的球心、球的半径、球的直径，球的外表面叫做球面.球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆。球面被不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆。(2)球的性质若球的半径为R，用一个平面去截球，所得截面圆半径为r，球心到截面圆的距离为d（即球心与截面圆心之间的距离），则d2+r2=R2。8、简单组合体(1)概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.(2)构成1、由简单几何体拼接而成；2、由简单几何体截去或挖去一部分而成。二、空间几何体的三视图和直观图1、投影(1)投影的概念由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。这里的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面。(2)投影的分类光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影。在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影；否则叫做斜投影。2、三视图(1)三视图的概念光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，叫做几何体的正视图（也叫做主视图）； 光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图，叫做几何体的侧视图（也叫做左视图）；光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图，叫做几何体的俯视图； 几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图.(2)三视图的要点长对正、高平齐、宽相等3、空间几何体的直观图斜二测画法的步骤在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成相应的x轴和y轴，两轴交于点O，且使xOy=45（或135），它们确定的平面表示水平面；已知图形中平行于x轴和y轴的线段，在直观图分别画成平行于x轴和y轴的线段；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。三、空间几何体的表面积与体积1、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积可以根据平面多边形求面积的方法，通过计算各个面的面积，再求和得到。2、直棱柱的侧面积S侧=底面周长高（注：直棱柱的高就等于侧棱长）3、正棱锥的侧面积S侧=12底面周长斜高4、正棱台的侧面积S侧=12(上底面周长+下底面周长)斜高5、圆柱的表面积S表=2r(r+l)，（其中r为圆柱底面半径，l为母线长）6、圆柱的侧面积S侧=2rl，（其中r为圆柱底面半径，l为母线长）7、圆锥的表面积S表=r(r+l)，（其中r为圆锥底面半径，l为母线长）8、圆锥的侧面积S侧=rl，（其中r为圆柱底面半径，l为母线长）9、圆台的表面积S表=r2+r2+rl+rl，（其中r、r为圆台上、下底面半径，l为母线