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4 / 4初等数论初步习题1贾祥雪1.1 整除1.证明：（1）若，则；（2）设为正整数，且，则;*(3) 设为正整数，且，则。2.证明：三个连续正整数之和是3的倍数。3.证明：若，则。4.设为正整数，证明。5.15位校友聚会，能否每个人都握手5次?6.设，求。1.2 素数与合数1.判断359是不是素数。2.利用厄拉多塞筛法找出100以内的全体素数。3.找出5个连续自然数，每个数都是合数。4.证明：大于11的自然数可以表示成两个合数之和。1.3带余除法1.写出被17除的带余除法表示式。2.请在503后面添加3个数字，使所得的6位数能被7,9,11整除。3.将101表成3进制数。4.是什么进制的乘法？1.4 辗转相除法与最大公约数1.求，。2.求。3.证明：对任意的整数，。4.证明：当时，有。5.证明：当时，有。6.证明：。7.证明：与互素。*8. 证明：当且时，有。*9.两组整数与，第一组中任意一个与第二组中任意一个互质，则求证与互质。*10.设为正整数，且，若不是整数，则不是有理数。*11.若，求证：。*12.若，求证：或2。*13.若，求。1.5 最小公倍数1.求。2.设是正整数，且，求。3.设是正整数，且，证明。*4.若，证明：。5.证明：。*6.举例说明是可能的。*7.证明：当且仅当两两互素时，有8.证明：。*9.若两两互素，证明：。*10.设为正整数，证明：不为整数。1.6 算术基本定理1.用分解素因数法求：（1）；（2）。2.求，这里，表示的正约数的个数。3.利用算术基本定理证明是无理数；1.7 二元一次不定方程1.解不定方程。2.求不定方程的正整数解。3.21世纪有这样的年份，这个年份减去22等于它各个数字的和的495倍，求这年份。4.（百牛问题）有银百两，买牛百头，大牛每头十两，小牛每头五两，牛犊每头半两，问买的一百头牛中，大牛，小牛，牛犊各几头？复习题：1.证明：设，则。2.证明：若为素数，必有，为自然数。3.设，且和都为素数，证明：必为合数。4.设为奇数，证明：。5.证明：设为正整数，则等差数列中能被整除的项的个数等于。6.证明：。7.设为正整数，为大于1的正整数，证明不是任何整数的次幂。（提示：算术基本定理）8.证明形如的素数有无穷多个。9.求1000027的素因
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