贝塞尔函数释疑

数学方程中关于贝塞尔函数的问题百度百科说贝塞尔(17841846 )是德国天文学家、数学家和天体测量学的创始人。 20岁时发表了关于彗星轨道测量的论文。 1810年新设立的科尼斯堡天文台长，直到去世。 1812年被选为柏林科学院会员。 贝塞尔的主要贡献是天文学，以天文学基础 (1818 )为象征发展实验天文学，制作基本星表，测量星的视差，预测星的存在，导出用于天文计算的贝塞尔公式，比较准确地计算出岁差常数等一些天文常数值，制作大气折射表和大气折射表，修正对天文观测的影响他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质和评价方法，为解决物理学和天文学问题提供了重要工具。 另外，他对地测学也做出了贡献，提出了贝塞尔地球椭球体等观点。 (照片来自维基百科)一、贝塞尔方程和贝塞尔函数二、贝塞尔方程与欧拉方程的比较三、贝塞尔函数和伽玛函数四、贝塞尔函数与一些常用函数的台劳级数比较右图是网页“维基百科自由百科全书”的贝济埃函数介绍的。 贝塞尔函数的一个示例是在紧张鼓被中心敲击之后的二次振动模式下，其振幅在半径方向上的分布是贝塞尔函数(考虑符号)。 在实际生活中被敲击的鼓的振动是各阶段的类似振动形态的重叠一、贝塞尔方程和贝塞尔函数Bessel方程是二阶线性变量的一阶常微分方程其中，v是常数，被称为Bessel方程的阶数(不一定是整数)，其可以取任何实数或复数。 这个方程的解不能用初等函数来表达。 数学方程的教科书使用第一类Bessel函数和第二类Bessel函数的线性组合表示方程的标准解函数。 贝塞尔函数也称为圆柱函数或圆柱谐波。 通常，贝塞尔函数是指第一个类的Bessel函数贝塞尔方程在圆柱坐标或球坐标下采用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到(圆柱域问题得到的是整数形式)。 由于球域问题产生的是半奇数阶格式，因此贝塞尔函数在波动问题和各种势场问题中占有非常重要的地位，在圆柱形波导中的电磁波传播问题- -圆柱的热传导问题圆形(或环形)薄膜的振动模态分析问题等领域，贝塞尔函数也很有用。 贝塞尔函数被用于在信号处理中定义调频组合(FM synthesis )和凯撒窗(Kaiser window )。教科书中Bessel方程的由来1 .用圆柱坐标系求解二维热传导方程使用分离变量法，将u(x，y，t)=V(x，y)T(t )代入方程式你可以得到两个方程式，其中，一阶常微分方程的解另一类是圆域上Laplace算子的模态问题，在极坐标系中再次运用分离变量法，代入方程进行整理你可以得到两个方程式，第一类二阶常微分方程的解引入周期边缘值条件，得到。 所以唯一的值是(n=0，1，2，)本征函数系统，(n=1，2，)如果将特征值代入第二个常微分方程启用时，方程式会转换为标准的整数次贝塞尔方程式2 .用圆柱坐标系求解二维波动方程使用分离变量法，将u(x，y，t)=V(x，y)T(t )代入方程式你可以得到两个方程式，第一个是圆域上的Laplace算子的特征值问题，可以得到类似于热传导问题的整数次贝塞尔方程式3 .用圆柱坐标系求解三维拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程。圆域中亥姆霍兹方程的边值问题用分离变量法、命令和赋值方程组织你可以得到两个方程式，第一类二阶常微分方程的解引入周期边缘值条件，得到。 所以唯一的值是(n=0，1，2，)本征函数系统，(n=1，2，)如果将特征值代入第二个常微分方程启用时，方程式会转换为标准的整数次贝塞尔方程式二、贝塞尔方程与欧拉方程的比较欧拉方程也是一类二阶线性变量系数的一阶常微分方程。 这个方程式的二次导数项和一次导数项的式子与贝塞尔方程式相同。不同之处在于，在贝塞尔方程式中函数项系数是变量系数，在欧拉方程式中函数项系数是常数。贝塞尔方程式即使是零次贝塞尔方程式也只能求出级数形式的解Euler方程可通过变量变换成线性常系数常微分方程。 变换：即未知函数的导数如果代入微分方程式方程化简约：该方程有初等函数公式的解。三、贝塞尔函数和伽玛函数1 .正整数阶贝塞尔函数贝塞尔函数的阶数v不总是整数。 引入伽玛函数简化表达式，但很神秘如果阶数是正整数，则可以编写贝塞尔函数零阶贝塞尔函数另一种是积分形式(可用于数值计算实验)2 .负整数阶贝塞尔函数如果参数为负值，则gamma函数的值为正无穷大，因此为负整数阶贝塞尔函数因为m n的项为零如果k=m - n，那么m=n k。 所以呢比较Jn(x )的公式j-n (x )=(1 ) njn (x )这表明两个整数阶贝塞尔函数是线性相关的。3 .伽玛函数这个特殊函数是用无限积分的形式定义的正整数阶乘函数的推广。 其中，s可以取正实数，实部可以取正多个。 一些简单的性质如下：(1)；(2)；事实上(3)事实上那么，概率积分上式化(4).gamma函数的参数为负值时，无限积分发散。 即，即因为因此，当参数为负值时，伽马函数的值