质点运动学(1)

第一章 质点运动学基 本 要 求一、理解质点模型和参照系、坐标系等概念。二、掌握位置矢量、位移、速度、加速度等物理量的概念及其关系。三、掌握直线运动、圆周运动及抛体运动中运动方程及速度、加速度等物理量的计算。四、理解运动叠加原理及其应用。内 容 提 要一、参照系、坐标系和质点参照系 用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。运动的相对性决定描述物体运动必须选取参照系。运动学中参照系可任选，不同参照系中物体的运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。坐标系 固定在参照系上的一组有刻度的射线、曲线或角度。坐标系为参照系的数学抽象。参照系选定后，坐标系还可以任选。在同一参照系中用不同的坐标系描述同一运动，物体的运动形式相同，但其运动形式的数学表述却可以不同。常用坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等。质点 如果物体的线度和形状在所研究的现象中不起作用，或所起的作用可以忽略不计，我们就可以近似地把物体看作是一个没有大小和形状的理想物体，称为质点。二、质点的位置矢量和运动方程位置矢量（位矢、矢径） 用来确定某时刻质点位置（用矢端表示）的矢量。位置矢量的大小：位置矢量的方向余弦：运动方程 质点位置矢量坐标和时间的函数关系称为质点的运动方程。或 ，三、位移和路程位移（矢量） 质点在一段时间（）内位置的改变（）叫作它在这段时间内的位移。路程（标量） 质点实际运动轨迹的长度。注意：t0时，位移大小等于路程，即四、速度和加速度速度 位置矢量对时间的变化率。平均速度：（瞬时）速度：速度方向：沿轨迹上质点所在点的切线，并指向质点前进的方向。速度大小（速率）：加速度 速度对时间的变化率。平均加速度：（瞬时）加速度： 加速度的方向：速度增量的极限方向。加速度的大小：五、直线运动直线运动中，、在同一条直线上，只用一维描述，可当作标量去处理。； ； 匀速直线运动 位置:匀加速直线运动 位置：；速度：六、圆周运动1.加速度切向加速度 引起速度大小改变的加速度。法向加速度（向心加速度） 引起速度方向改变的加速度。加速度 2.圆周运动的角量描述角位移 角速度 角加速度 当为常数时，质点作匀变速转动，此时有运动学关系3.角量与线量的关系， ， 七、运动叠加原理物体同时参与几种运动时，该运动可以看作几个各自独立进行的运动叠加而成。竖直上抛运动 竖直向上的匀速直线运动+自由落体竖直下抛运动 竖直向下的匀速直线运动+自由落体平抛运动 水平方向上的匀速直线运动+自由落体解题方法与例题分析一、已知运动方程（位置矢量），计算位移、速度和加速度。计算（瞬时）速度和加速度一般用求导的方法：位置矢量（运动方程）对时间求导即为速度，速度对时间求导就是加速度。计算位移、平均速度、平均加速度可先由始末时刻确定始末位置，再由定义计算。例1 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为一、已知运动方程求r及通过求导求v、a，并判断物体作何种运动。 （其中a、b为常量），则该质点作何种形式的运动？解 由质点的位置矢量 得运动方程 轨道方程 ， 质点的速度 质点的加速度 质点的加速度为非零恒量，故该质点在xy平面内作匀变速直线运动，其轨道方程为。例2 某质点的运动方程为 x =2t7t3+3（SI），则该质点作何种形式的运动？并确定加速度的方向。解 由质点的运动方程 x =2t7t3+3得质点的速度 质点的加速度 质点的加速度为时间的函数，故该质点作变加速直线运动；加速度为负，说明加速度方向沿x轴负方向。例3 一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x =5t2 3t3 (SI)。试求：（1）在第2秒内的平均速度；（2）第2秒末的瞬时速度；（3）第2秒末的加速度。解 （1）由平均速度的定义：（2）由定义 时，有 （3）由定义 时，有 例4 在离船高度为h的岸边，绞车以恒定的速率v0收绳（绳原长l0），使船靠岸，如图11所示，试描述船的运动。图11解 建立如图坐标系，显然船在x轴上作直线运动。t时刻绳长为船的运动方程为 速度为 方向沿x轴负向。加速度为 方向沿x轴负向。可见，船作加速直线运动，离岸越近，x越小，a越大。例5 已知质点的运动方程x=2t，y=4t2（SI）。试求任一时刻质点的速度、切向加速度、法向加速度、总加速度的大小。解 由运动方程可求得质点速度的x、y分量, 速度大小为 同理：， m/s2所以加速度大小为 m/s2切向加速度： 法向加速度：二、已知加速度及初始条件，计算速度和运动方程。此类问题是前一类问题的逆过程，加速度对时间的积分即为速度，速度对时间的积分就是运动方程。解决此类问题时应注意由初始条件确定积分上下限。例6 一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标的关系为 a=3+6x2（SI）。如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。解 设质点在任意位置x处的速度为v，则 分离变量，两边积分：得 例7 一艘正在行驶的汽船，当关闭发动机后，沿一直线运动，加速度与船速的平方成正比且反向，即，其中常量k0。若关闭发动机时汽船的速度为v0，求：（1）关闭发动机后t时刻的汽船速度；（2）关闭发动机后的t时间内，汽船行驶的距离。解 以汽船为研究对象，由于它做减速直线运动，所以取汽船运动方向为坐标轴x的正方向，坐标原点选择在刚关闭发动机的位置处。（1）按直线运动的加速度公式有 由题意，代入上式，有 分离变量 已知t=0时，并设t时刻的速度为v，对上式取定积分 （2）由 有 分离变量，两边取定积分，有 由此得汽船的运动方程为 汽船在t时间内行驶的距离 例8 一质点从静止出发沿半径为R=3m的圆周运动，切向加速度为。求：（1）经过多少时间它的总加速度恰好与半径成45角？（2）在上述时间内，质点所经过的路程和角位移各为多少？解 已知，即 由初始条件: t =0时，得质点的瞬时速率质点的法向加速度的大小为 这样总加速度为： 其中为沿半径指向圆心的单位矢量，为切向单位矢量。（1）设总加速度与半径夹角为，则有： ， 当=45时，有，即要求3t2 =3，t =1s（另一负根舍去）所以t =1s时，总加速度与半径成45角。（2）由 和初始条件：t =0时，s0=0 ，得：将t =1s 代入，求出这段时间内的路程：由角位移与路程的关系 当t =1s时, 三、利用角量与线量的关系解题。例9 质点P在水平面内沿一半径为R =1m的圆轨道转动，转动的角速度w与时间t的函数关系为w =kt2（k为常量）。已知t =2s时质点P的速率为16m/s，试求t =1s 时，质点P的速度与加速度的大小。解 首先确定k值：所以有 ， 时，习 题一、选择题1、一质点在xy平面内运动，其运动方程为，式中a、b、c均为常数。当运动质点的运动方向与x轴成45角时，它的速率为 。Aa； B； C2c； D。 y a c b d O x图122、一质点以匀速率在xy平面内运动，如图12所示。则经轨道上的a、b、c、d四点时，质点的加速度最大的点是 。Aa BbCc Dd3、设木块沿光滑斜面从下端开始往上滑动，然后下滑，则表示木块速度与时间关系的曲线是 。v v t t A Bv v t t C D图134、对斜抛运动，正确的说法是 。A在最高点，物体的切向加速度为零；B在最高点，物体的速度为零；C在起抛点，物体的速度最大，因此在该点物体的法向加速度也最大；D如起抛点和落地点在同一水平面上，则抛射角为（）和（）时，射程相同。二、填空题1、一质点沿x轴运动，其运动方程为（SI）。质点的初速度为 ，第4秒末的速度为 ，第4秒末的加速度为 。 v C B A 0 t1 t2 t 图142、一质点以m/s的匀速率作半径为5m的圆周运动。该质点在5s内的平均速度的大小为 ，平均加速度的大小为 。3、 质点作直线运动，其速度与时间的关系曲线如图14所示。图中过A点的一切线AC的斜率表示 ，割线AB的斜率表示 ，曲线下的面积表示 。4、一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其运动方程为（SI）。质点在第一秒末的速度为 ，切向加速度为 。三、计算题1、一质点沿y轴作直线运动，它在t时刻的坐标为（SI）。试求：（1）12秒，11.5秒，11.1秒，11.01秒内质点的位移和平均速度；（2）1秒末和2秒末的瞬时速度；（3）第2秒内所通过的路程；（4）第2秒内质点的平均加速度以及1秒末和2秒末的瞬时加速度；（5）说明该质点的运动情况和速率变化情况（13秒内）。2、已知质点的运动方程为，（SI）。试求：（1）计算轨道方程并图示质点的运动轨道；（2）第1秒和第2秒末质点的位置矢量及第2秒内质点的平均速度；（3）第2秒末质点的速度和加速度。3、已知重力加速度为，忽略空气阻力，试分析当质点以初速度，方向与水平线成角方向抛出时，质点的运动方程。（提示：已知加速度和初始条件，用积分法求运动方程。）4、简要叙述直线运动中怎样用正负号表示位移、速度、加速度等物理量的方向。5、一升降机高2米，以10米/秒