随机过程及其应用_习题答案(陆大金)

第一章概论第一章概论 第 1 题 某公共汽车站停放两辆公共汽车 A 和 B，从 t=1 秒开始，每隔 1 秒有一乘客到达车站。 如果每一乘客以概率 2 1 登上 A 车，以概率 2 1 登上 B 车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立 的， 并用 j 代表 t=j 时乘客登上 A 车的状态， 即乘客登上 A 车则 j 1， 乘客登上 B 车则 j 0，则, 2 1 0, 2 1 1= jj PP当 tn 时在 A 车上的乘客数为 n n j jn , 1 = =是一 个二项式分布的计算过程。 （1）求 n 的概率，即;,.,2 , 1 , 0?nkkP n = （2）当公共汽车 A 上到达 10 个乘客时，A 即开车（例如 t21 时9 21 =，且 t22 时又 有一个乘客乘 A 车，则 t22 时 A 车出发） ，求 A 车的出发时间 n 的概率分布。 解（1） ： n n k n kP = 2 1 解（2） ： n n n n P P = = = 2 1 9 1 2 1 2 1 9 1 A)10n9A1-n( nA 1 名乘客登上车时刻第名乘客；在有时刻，车在 开车在时刻车 第 2 题 设有一采用脉宽调制以传递信息的简单通信系统。脉冲的重复周期为 T，每一个周期传 递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，使每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T）内，而 且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机变量；脉冲的幅度为常数 A。也就是说，这个通信 系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是以随机过程)(t。图题 12 画出了它 的样本函数。试求)(t的一维概率密度)(xf t 。 解： 0 0 (1) ( )()( ) ( ) ( )0 (1) ,(0, ) ( )(1) , (1) 1 (1) (1) 1 ( ( )01 ( ) t A A n n n T tnT fxPxAPx PtAPPtP tnT nTnT PtAP tnT nT PtnT d T TtnT T nTt T t n T tnT T tn PtPtA =+ = =+ = = + = = = = = = 是任意的 脉冲宽度 0 1) (1) ( )()( ) ()(1)( ) t A Tt n TT fxPxAPx tt nxAnx TT = =+ =+ 第 3 题 设有一随机过程)(t，它的样本函数为周期性的锯齿波。图题 13(a)、(b)画出了两个 样本函数图。各样本函数具有统一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不同。设在 t=0 后的第一个零值点位于 0 ， 0 是一个随机变量，它在（0，T）内均匀分布，即 = 其它值）(0 )0( 1 )( 0 Tt Ttf若锯齿波的幅度为 A，求随机过程)(t的一维概率密度。 解（1） ：)(t取值在 0，A 之间，且均匀分布 = 其它值）(0 )0( 1 )( )( Ax Axf t 解（2） ： 令)(tx，则 x=k(t- 0 )，)0(Ax，t=T T t t , k 为斜率。所以 0 =t- k x 。 = = 其它值）(0 )0( 111 )( )( Ax AkTxf t 第 4 题 设有随机过程)(sincos)(0，和 是随机变量，且相互统计独立，它们的概率密度为 )( 2 exp 2 1 )( )( 2 exp 2 1 )( 2 2 = ，其中 c 为常数，求出现 A 事件的概率 P(A)。 解（1） ： ,相互独立，故其联合概率密度为)()(),(yfxfyxf =，利用随机变量变换后 的概率密度的公式，可得到, v的联合概率密度： Jvfvfvfv=)cos()sin(),( tt tVtV tVt sincos sincoscossin )sin()( += += += = = cos sin V V = += 2 exp 2 c v vdv =exp 2 c 第 5 题 求第 4 题所给出的随机过程)(t的均值和自相关函数。 解： 0 sincos sincos)( = += += tEtE ttEtE 1212 1122 2 1212 2 2112 1212 12 ( , ) ( ) ( ) ( cossin)( cossin) coscoscossin cossinsinsin coscossinsin cos() cos() R t tEtt Etttt EttEtt EttEtt tttt tt = =+ =+ + =+ = = 第 6 题 设有随机过程)(t， 并设 x 是一实数， 定义另一个随机过程)(t = = )(0)( )(1)( xtt xtt 试证)(t的均值和自相关函数分别为随机过程)(t的一维和二维分布函数。 解： ),( )(,)( )(,)(11)()( )( )( )(0)(1)( 21 2211 221121 xxF xtxtP xtxtPttE xF xtP xtPxtPtE = = = = = += 第 7 题 设有随机过程ttttcos)(,),(=，其中为均匀分布于（0,1）间的 随机变量，即 T 0)()()()(),( 212121 =tEtEttEttC 若t1-t2|T 1212 2 1212 00 2 12 0 ( , ) ( ) ( ) | 01 ( ) | 1 Ct tEtt tttt Et TT tt T = = + = 1 马尔可夫过程（马尔可夫过程（I）马尔可夫链）马尔可夫链 第 1 题 设)(t是 一 马 尔 可 夫 过 程 ， 又 设 knnn ttttt + LL 121 ， 试 证 明 )/(),/( 1/1,/ 11 + + = nnttknnnttt xxfxxxf nnknnn L L 即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫 性。 解： 1 1 1 11 1211 /,1 ,1 ,1 /1/1 /1/211 (/,) (,) (,) (/)(/)() (/)(/)() nnn k nnn k nn k n kn knnn n kn knnn tttnnn k tttnnn k ttnn k ttn kn kttnntn ttn kn kttnntn t fxxx fxxx fxx fxxfxxfx fxxfxxfx f + + + + + + + + + + + + + + = = = L L L L L L L L 1 1 1 1 1 /1 1 ,1 1 /1 (/)() () () () (/) nnn n nn n nn tnntn tn ttnn tn ttnn xxfx fx fxx fx fxx + + + + + + + + + + = = 第 2 题 试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的)(t值为已知，则该过程的“过去” 和“将来”是相互统计独立的，即如果有 321 ttt，其中 t2代表“现在” ，t1代表“过去” ， t3代表 “将来” ， 若 22) (xt= 为已知值， 试证明)/()/()/,( 23/21/231/, 2321231 xxfxxfxxxf ttttttt = 解： )/()/( )( ),()/( )( )()/()/( )( ),( )/,( 23/21/ 2 12,23/ 2 112/23/ 2 231, 231/, 2321 2 1223 2 11223 2 231 231 xxfxxf xf xxfxxf xf xfxxfxxf xf xxxf xxxf tttt t tttt t ttttt t ttt ttt = = = = 第 3 题 若)(t是 一 马 尔 可 夫 过 程 ， 2121+ mmm tttttL， 试 证 明 2 )/,(),/,( 21/,2121,/, 212121 mmmtttmmmttttt xxxfxxxxxf mmmmmm + +=+ =L L 解： 1212 1212 12 211211 121 ,/ ,1212 , ,1212 ,12 /21/1/211 /1/21 (,/,) (,) ( ,) (/)(/)(/)() (/)(/ mmm mmm m mmmm mm ttt ttmmm ttt ttmmm t ttm ttmmttmmttt ttmmtt fxxx xx fxxx xx fx xx fxxfxxfxxfx fxxfxx + + + + + + = = L L L L L L L L 1 211 12 1 /21/1 ,/12 )( ) (/)(/) (,/) mmmm mmm t ttmmttmm tttmmm fx fxxfxx fxxx + =+ + + = = 第 4 题 若有随机变量序列, 21 LL n 且LL, 21n 为相互统计独立的随机变量， n 的概率密度为L, 2 , 1, 0),()(=nExfxf nnnn n 。定义另一随机变量序列 n 如下： LL L LL nn += += += = 21 3213 212 11 试证明： （1）序列LL, 21n 具有马尔可夫性； （2） 111112211 /,/ = nnnnnnn yyEyyyEL 解（1） ：略（附后） 解（2） ：略（附后） 第 5 题 设有随机过程L, 3 , 2 , 1),(=nn，它的状态空间 I： x: 0x1是连续的，它的参数 T 为离散的，Tn，n=1,2,。设) 1 (为(0,1)间均匀分布的随机变量，即) 1 (的概率密度为 = )(0 ) 10(1 )()( 1 1)1(11 其它 x xfxf ，)m(, )2(, ) 1 (L的联合概率密度为 3 1,2,m12m (1), (2), (m)12m 11 12m-1 1,2,m12m f(x ,x ,x ) f(x ,x ,x ) 1 (01) x xx f(x ,x ,x )0 () mm i xxx x = = = L L L L L L L L其它 值 （1）求)2(的边际概率密度; （2）试问该过程是否为马尔可夫过程； （3）求转移概率密度)/(,),/( 11/121/2mmmm xxfxxfLL。 （4）求 3 1 ) 3(, 4 3 ) 1 (P。 解（1） ： 21 1 1 1 1 21(2)(1),2(2) 12 1 21(2)(1), ln x 1 )x,x(f)x(f ) 10( x 1 )x,x(f 22 xdxxd xx xx = = 解（2） ： (m)/ (1), (2), (m-1)m12m-1 (1), (2), (m)12m (1), (2), (m-1)12m-1 12m-112m-2 11 m-1 f(x /x ,x ,x) f(x ,x ,x ) f(x ,x ,x) 11 / x xxx xx 1 (01) x mm xxx = = = L L L L L L LL L )x,x,/xx(f 1 -m21m1)-(m,(2),(1),(m)/ L L 只与) 1(m有关，该过程是马尔可夫过程。 解（3） ： ) 10( 1 )/( , ),10( 1 )/( 1 1 11/ 12 1 121/2 = = L LL mm m mmmm xx x xxf xx x xxf 解（4） ：略（附后） 第 6 题 设有一参数离散、状态连续的随机过程L, 3 , 2 , 1),(=nn，它的状态空间为： 4 0;:xxI，又) 1 (的概率密度为 = )(0 )0( )()( 1 111)1( 1 值其它 i x x xe xfxf )m(, )2(, ) 1 (L的 m 维联合概率密度为 1,2,m12m 12m-1112211 12 1,2,m12m f(x ,x ,x ) x xxexp () (0,0,0) f(x ,x ,x )0 () mmmm m i x xxxx xx xxx x =+ = L L L LL L L其它 值 （1）求)2(的概率密度; （2）求边际概率密度函数)x,x,(xf 1 -m211 -m,1,2, L L ； （3）说明该过程是马尔可夫过程，并求其转移概率密度)/( 11/mmmm xxf； 解（1） ： 2 2 1 0 1121 1 0 21(2)(1),2(2) 12112121(2)(1), ) 1( 1 )(exp )x,x(f)x(f )0, 0()(exp)x,x(f + = += = += x dxxxxx xd xxxxxx 解（2） ： 1,2,m-112m-1 1,2,m12mm 0 12m-1112211m 0 12m-21221112 1,2,m-112m-1 f(x ,x ,x) f(x ,x ,x )dx x xxexp ()dx x xxexp () (0,0,0) f(x ,x ,x) 0 () mmmm mmm i x xxxx xx xxx xxxxx x = = + = + = L L L L L LL LLL L 其它 值 解（3） ：略 m/1,2,m-1m12m-1 1,2,m12m 1,2,m-112m-1 12m-1112211 12m-212211 m-111 f(x /x ,x ,x) f(x ,x ,x ) f(x ,x ,x) x xxexp () x xxexp () xexp (0,0) mmmm mm mmmm x xxxx xx xxx xx x xxx = + = + = L L L L L L LL LL 5 )x,x,/xx(f 1 -m21m1)-(m,(2),(1),(m)/ L L 只与) 1(m有关，该过程是马尔可夫过程。 第 7 题 有三个黑球和三个白球。把这六个球任意等分给甲、乙两个袋中，并把甲袋中的白球数 定义为该过程的状态，则有四种状态：0，1，2，3。现每次从甲、乙两袋中各取一球，然后 相互交换，即把从甲袋取出的球放入乙袋，把从乙袋取出的球放入甲袋，经过 n 次交换，过 程的状态为L, 3 , 2 , 1),(=nn。 （1）试问该过程是否为马尔可夫链； （2）计算它的一步转移概率矩阵。 解（1） ： 该过程是马尔可夫链； 解（2） ： 000203 01 10 0 1 111 2121 339 PPP P P = = = 甲袋全为黑球，乙袋全为白球 甲袋 个黑球， 个白球，取白球；乙袋 个白球， 个黑球，取黑球 11 12 13 2121 2121 21124 33339 224 2121 339 0 P P P = =+= = = 甲袋 个黑球， 个白球，取黑球；乙袋 个白球， 个黑球，取黑球 甲袋 个黑球， 个白球，取白球；乙袋 个白球， 个黑球，取白球 甲袋 个黑球， 个白球，取黑球；乙袋 个白球， 个黑球，取白球 20 21 22 23 0 22 221 33 2121 2121 12214 33339 111 2121 339 P P P P = = = =+= = 甲袋 个白球，取白球；乙袋 个黑球， 个白球，取黑球 甲袋 个白球， 个黑球，取黑球；乙袋 个黑球， 个白球，取黑球 甲袋 个白球， 个黑球，取白球；乙袋 个黑球， 个白球，取白球 甲袋 个白球， 个黑球，取黑球；乙袋 个黑球， 个白球，取白球 3031 32 33 0 1 0 PP P P = = = 6 0 1 0 0 1 4 4 0 9 9 9 4 4 1 0 9 9 9 0 0 1 0 P = 第 8 题 设)(n是一马尔可夫链，它的状态空间为 I：0,1,2,它的初始状态的概率分布为 4 1 2)0(, 2 1 1)0(, 4 1 0)0(=PPP；它的一步转移概率矩阵为 = 4 3 4 1 0 3 1 3 1 3 1 0 4 3 4 1 P （1）计算概率1)2(, 1) 1 (, 0)0(=P； （2）计算 )2( 01 P。 解（1） ： 16 1 3 1 4 3 4 1 1) 1 (/1)2(0)0(/1) 1 (0)0( 1)2(, 1) 1 (, 0)0( = = = PPP P 解（2） ： 16 7 48 31 48 13 48 4 36 13 36 16 36 7 4 1 16 7 16 5 4 3 4 1 0 3 1 3 1 3 1 0 4 3 4 1 4 3 4 1 0 3 1 3 1 3 1 0 4 3 4 1 )2( 01 )2( = = = P P 第 9 题 设有马尔可夫链，它的状态空间为 I： 0，1，2 ，它的一步转移概率矩阵为 7 = 010 01 010 ppP （1）试求 )2( P，并证明 )4()2( PP=; （2）求1, )( nP n 。 解（1） ： (2) 0 1 00 1 0 1010 0 1 00 1 0 10 0 1 0 10 PPP pppp pp pp = = = (4)(2)(2) (4)(2) 1010 0 1 00 1 0 1010 10 0 1 0 10 PPP pppp pppp pp pp PP = = = = 解（2） ： = = 010 01 010 010 01 010 01 010 01 )2()3( pp pp pp pp PPP 若 n 为奇数，1, )( =nPP n ；若 n 为偶数，1, )2()( =nPP n 第 10 题 设有马尔可夫链，它的状态空间为 I:0，1 ，它的一步转移概率矩阵为 ) 10( 1 1 =p pp pp P试用数学归纳法证明： 8 + + = nn nn n pp pp P ) 12( 2 1 2 1 ) 12( 2 1 2 1 ) 12( 2 1 2 1 ) 12( 2 1 2 1 )( 解： )10( 1 1 1 = = p pp pp P n + + = nn nn n pp pp P ) 12( 2 1 2 1 ) 12( 2 1 2 1 ) 12( 2 1 2 1 ) 12( 2 1 2 1 )( (1) 11 11 1111 (21)(21) 1 2222 11111 (21)(21) 2222 1111 (21)(21) 2222 1111 (21)(21) 2222 nn n nn nn nn pp pp P p p pp pp pp + + + + = + + = + ( ) 1111 (21)(21) 2222 1111 (21)(21) 2222 nn n nn pp P pp + = + 第 11 题 设有马尔可夫链，它的状态空间为 I:0，1 ，它的一步转移概率矩阵为 ) 10 , 10( 1 1 0 必须满足 Pj,j-1+Pjj+Pj,j+1=1。当 j=0 时，P00+P011 这类过 程可以称为离散参数的生灭过程。求该链为正常返的条件。 解： 设 jjjjjj ppqp= +1,1, ,画 出 该 链 的 状 态 转 移 图 ， 设 该 链 存 在 极 限 分 布 L),2(),1 (),0(，于是有， )0() 1 ( 01 pq=， 11 (1)(1)() ( ),1 iiii piqipqii + +=+ 上面第二式可改写为： 1),1()()() 1( 11 =+ + iipipiqiq iiii 所以两边同时对 i 求和，有 11 11 11 (1)( )( )(1) ,2 nn iiii ii qiqipipin + = += 化简后即为： )0() 1() 1 ()( 011 pnpqnq nn = 又因为 )0(