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文档简介

5函数的Taylor级数,Taylor级数函数的Taylor展开式幂级数的简单应用,一Taylor级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,1Taylor级数概念,证明,2幂级数展开的唯一性问题,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,函数的幂级数展开式是唯一的。,问题,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,3函数展成它的Taylor级数的条件,可见,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,二函数的Taylor展开式,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,双阶乘,2.间接法,根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.,例如,例4,解,例5,解,例6,解,例7,解,例8,解,例9,解,例10,解,三幂级数的简单应用,1求某些函数项级数的和函数；,2做近似计算。,例11,解,例12,解,欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，无穷小分析引论、微分学原理、积分学原理等都成为数学中的经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。,欧拉(Euler)公式,则称收敛,且其和为,绝对收敛,收敛.,若,收敛,若,对复数项级数,绝对收敛,则称绝对收敛.,由于,故知,定义:复变量,的指数函数为,易证它在整个复平面上绝对收敛.,当y=0时,它与实指数函数,当x=0时,的幂级数展式一致.,（欧拉公式）,（也称欧拉公式）,利用欧拉公式可得复数的指数形式,则,据此可得,(德莫弗公式),利用幂级数的乘法,不难验证,特别有,P293Euler公式,小结,1.如何求函数的泰勒级数;,2.泰勒级数收敛于函数的条件;,3
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