2009年辽宁省高考数学试卷(文科)答案与解析

2009年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）（2009辽宁）已知集合M=x|2x5，N=x|x5或x5，则MN=（）Ax|x5或x2Bx|5x5Cx|2x5Dx|x3或x5【考点】并集及其运算菁优网版权所有【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集【解答】解：在数轴上画出集合M=x|2x5，N=x|x5或x5，如图：则MN=x|x5或x2故选A【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常考的题型2（5分）（2009辽宁）已知复数z=12i，那么=（）ABCD【考点】复数代数形式的混合运算菁优网版权所有【分析】复数的分母实数化，然后化简即可【解答】解：=故选D【点评】复数代数形式的运算，是基础题3（5分）（2009辽宁）已知an为等差数列，且a72a4=1，a3=0，则公差d=（）A2BCD2【考点】等差数列菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可【解答】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，即，解得d=，故选B【点评】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用4（5分）（2009辽宁）平面向量与的夹角为60，=（2，0），|=1，则|+2|=（）ABC4D12【考点】向量加减混合运算及其几何意义菁优网版权所有【分析】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方【解答】解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+421cos60+4=12，|a+2b|=故选：B【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定5（5分）（2009辽宁）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60纬线长和赤道长的比值为（）A0.8B0.75C0.5D0.25【考点】球面距离及相关计算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先求北纬60纬圆半径，求出纬线长，再求赤道长，即可【解答】解：设地球半径为R，则北纬60纬线圆的半径为Rcos60=R而圆周长之比等于半径之比，故北纬60纬线长和赤道长的比值为0.5故选C【点评】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题6（5分）（2009辽宁）已知函数f（x）满足：x4，则f（x）=；当x4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=（）ABCD【考点】对数的运算性质菁优网版权所有【分析】根据32+log234知，符合x4时的解析式，故f（2+log23）=f（3+log23），又有3+log234知，符合x4的解析式，代入即得答案【解答】解：32+log234，所以f（2+log23）=f（3+log23）且3+log234f（2+log23）=f（3+log23）=故选A【点评】本题主要考查已知分段函数的解析式求函数值的问题7（5分）（2009辽宁）已知圆C与直线xy=0及xy4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A（x+1）2+（y1）2=2B（x1）2+（y+1）2=2C（x1）2+（y1）2=2D（x+1）2+（y+1）2=2【考点】圆的标准方程菁优网版权所有【分析】圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线xy=0及xy4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可【解答】解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（1，1）到两直线xy=0的距离是；圆心（1，1）到直线xy4=0的距离是故A错误故选B【点评】一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究8（5分）（2009辽宁）已知tan=2，则sin2+sincos2cos2=（）ABCD【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】利用sin2+cos2=1，令原式除以sin2+cos2，从而把原式转化成关于tan的式子，把tan=2代入即可【解答】解：sin2+sincos2cos2=故选D【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换应用本题利用了sin2+cos2=1巧妙的完成弦切互化9（5分）（2009辽宁）ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）ABCD【考点】几何概型菁优网版权所有【专题】计算题【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解【解答】解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为因此取到的点到O的距离大于1的概率P=1故选B【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解10（5分）（2009辽宁）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，aN，其中收入记为正数，支出记为负数该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）AA0，V=STBA0，V=STCA0，V=S+TDA0，V=S+T【考点】设计程序框图解决实际问题菁优网版权所有【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知S表示月收入，T表示月支出，V表示月盈利，根据收入记为正数，支出记为负数，故条件语句的判断框中的条件为判断累加量A的符号，由分支结构的“是”与“否”分支不难给出答案，累加完毕退出循环后，要输出月收入S，和月盈利V，故在输出前要计算月盈利V，根据收入、支出与盈利的关系，不难得到答案【解答】解析：月总收入为S，支出T为负数，因此A0时应累加到月收入S，故判断框内填：A0又月盈利V=月收入S月支出T，但月支出用负数表示因此月盈利V=S+T故处理框中应填：V=S+T故选A0，V=S+T【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误11（5分）（2009辽宁）下列4个命题p2：x（0，1），1/2x1/3x1/2x1/3x其中的真命题是（）Ap1，p3Bp1，p4Cp2，p3Dp2，p4【考点】命题的真假判断与应用；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】本题的考查意图是指数函数和对数函数的单调性，但作为选择题来讲，此类题采用特殊值法更好【解答】解：取x=，则1/2x=1，1/3x=log321，p2正确当x（0，）时，（）x1，而1/3x1p4正确故选D【点评】特殊值法是解决选择题的常用解法之一，特点是快捷、实用，不易出错相当于实践验证12（5分）（2009辽宁）已知偶函数f（x）在区间0，+）单调增加，则满足f（2x1）f（）的x取值范围是（）A（，）B，）C（，）D，）【考点】奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有【专题】分析法；函数的性质及应用【分析】由题设条件偶函数f（x）在区间0，+）单调增加可得出此函数先减后增，以y轴为对称轴，由此位置关系转化不等式求解即可【解答】解析：f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）f（2x1）=f（|2x1|），即f（|2x1|）f（|）又f（x）在区间0，+）单调增加得|2x1|，解得x故选A【点评】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数f（x）在区间0，+）单调增加，则满足f（2x1）的x取值范围是（）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）（2009辽宁）在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC已知点A（2，0），B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为（0，2）【考点】相等向量与相反向量菁优网版权所有【分析】由四边形ABCD的边ABDC，ADBC，和三个点的坐标，可以先设出点的坐标，根据两条对角线交于一点，用中点坐标公式得到结果【解答】解：设D（x，y），AC与BD中点相同2+8=6+x，x=0又0+6=8+y，y=2D=（0，2），故答案为：（0，2）【点评】向量首尾相连，构成封闭图形，则四个向量的和是零向量，用题目给出的三个点的坐标，再设出要求的坐标，写出首尾相连的四个向量的坐标，让四个向量相加结果是零向量，解出设的坐标14（5分）（2009辽宁）已知函数f（x）=sin（x+）（0）的图象如图所示，则=【考点】三角函数的周期性及其求法；y=Asin（x+）中参数的物理意义菁优网版权所有【专题】数形结合【分析】根据所给的图形，看出四分之一个周期的值，得到最小正周期，根据周期的计算公式，得到要求的值，本题主要考查读图问题，从图形中看出需要的结果【解答】解：由图象可得最小正周期4（）=T=故答案为：【点评】根据所给的图形，看出四分之一个周期的值，得到最小正周期，根据周期的计算公式，得到要求的值，本题主要考查读图问题，从图形中看出需要的结果15（5分）（2009辽宁）若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=3【考点】利用导数研究函数的极值菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】先求出f（x），因为x=1处取极值，所以1是f（x）=0的根，代入求出a即可【解答】解：f（x）=因为f（x）在1处取极值，所以1是f（x）=0的根，将x=1代入得a=3故答案为3【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力16（5分）（2009辽宁）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为4m3【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可【解答】解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于243=4故答案为：4【点评】本题考查三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力，是基础题三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）（2009辽宁）等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求an的公比q；（2）求a1a3=3，求Sn【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列【分析】（）由题意知a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2），由此可知2q2+q=0，从而（）由已知可得，故a1=4，从而【解答】解：（）依题意有a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2）由于a10，故2q2+q=0又q0，从而（）由已知可得故a1=4从而【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答18（12分）（2009辽宁）如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1 km试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449）【考点】解三角形的实际应用菁优网版权所有【专题】计算题；应用题【分析】在ACD中，DAC=30推断出CD=AC，同时根据CB是CAD底边AD的中垂线，判断出BD=BA，进而在ABC中利用余弦定理求得AB答案可得【解答】解：在ACD中，DAC=30，ADC=60DAC=30，所以CD=AC=0.1又BCD=1806060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA、在ABC中，=，sin215=，可得sin15=，即AB=，因此，BD=0.33km故B、D的距离约为0.33km【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用考查学生分析问题解决问题的能力综合运用基础知识的能力19（12分）（2009辽宁）如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点（1）若平面ABCD平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；（2）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线【考点】直线与平面所成的角；反证法与放缩法菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】（1）（解法一）由面面垂直的性质定理，取CD的中点G，连接MG，NG，再证出MNG是所求的角，在MNG中求解；（解法二）由垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面DCEF的法向量，再用向量的数量积求解；（2）由题意假设共面，由ABCD推出AB平面DCEF，再推出ABEN，由得到ENEF，即推出矛盾，故假设不成立；【解答】解：（1）解法一：取CD的中点G，连接MG，NG设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MGCD，MG=2，NG=平面ABCD平面DCED，MG平面DCEF，MNG是MN与平面DCEF所成的角MN=，sinMNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值解法二：设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图则M（1，0，2），N（0，1，0），可得=（1，1，2）又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，cos（，）=MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos（2）假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，AB平面DCEF又ABCD，AB平面DCEF面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，ABEN又ABCDEF，ENEF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立ME与BN不共面，它们是异面直线【点评】本题考查了线面角的求法，可有面面垂直的性质定理用两种方法来求解；还考查了用反证法证明，用了线线平行与线面平行的相互转化来推出矛盾，考查了推理论证能力和逻辑思维能力20（12分）（2009辽宁）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：甲厂分组29.86，29.90）29.90，29.94）29.94，29.98）29.98，30.02）30.02，30.06）30.06，30.10）30.10，30.14）频数12638618292614乙厂分组29.86，29.90）29.90，29.94）29.94，29.98）29.98，30.02）30.02，30.06）30.06，30.10）30.10，30.14）频数297185159766218（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（2）由于以上统计数据填下面22（3）列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附：【考点】独立性检验的应用菁优网版权所有【专题】应用题；图表型【分析】本题考查的知识点是独立性检验的应用，（1）要求两个分厂生产的零件的优质品率，我们可以根据已知中的表格中的数据，及规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品，我们及计算出两个分厂生产的零件的优质品率；（2）按照分层抽样中，样本中的比例与总体中的比例一致，易得表中各项数据的值，然后我们可以根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案【解答】解：（）甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为（）甲厂乙厂合计优质品360320680非优质品140180320合计50050010007.356.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”【点评】独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案21（12分）（2009辽宁）设f（x）=ex（ax2+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：当【考点】利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，然后根据在x=1处的导数值等于其切线的斜率可求a的值，然后当f（x）0时可求函数的单调递减区间，当f（x）0时可求函数的单调递增区间（2）先确定函数f（x）在0，1单调增，求出最大值和最小值，故根据任意x