2010年全国高考文科数学试题及答案全国

绝密启用前 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 第第卷卷 （选择题）（选择题） 本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式 S=4R2( + )( )+ ( )P A BP AP B 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 球的体积公式()( )( )P A BP AP B 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是，那么 p 3 4 VR 3 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 P ( )(1)(0,1,2, ) kkn k nn kC ppkn 一、选择题一、选择题 （1）设全集，集合,则（ ） * U6xNx A1,3B3,5， U( )AB （） （） （） （） 1,4 1,5 2,4 2,5 （）不等式的解集为（ ） 3 0 2 x x （）23xx （）2x x （）23x xx 或 （）3x x （3）已知 2 sin 3 ，则cos(2 ) (A) 5 3 (B) 1 9 (C) 1 9 (D) 5 3 （4）函数的反函数是1 ln(1)(1)yxx (A) (B) 1 1(0) x yex 1 1(0) x yex (C) (D) 1 1(R) x yex 1 1(R) x yex (5) 若变量满足约束条件 1 325 x yx xy ，则的最大值为, x y2zxy (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4 （6）如果等差数列 n a中， 3 a+ 4 a+ 5 a=12，那么 1 a+ 2 a+ 7 a= (A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35 （7）若曲线在点(0, )b处的切线方程式，则 2 yxaxb10 xy （A）1,1ab （B）1,1ab （C）1,1ab （D）1,1ab （8）已知三棱锥中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形，SA 垂直于底面SABC ABC，SA=3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 （A） （B） （C） 7 4 （D） 3 4 5 4 3 4 （9）将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标 号为 1,2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 （A）12 种 （B）18 种 （C）36 种 （D）54 种 （10）ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若，CBaCAb1,2ab 则=CD （A） （B） （C） （D） 12 33 ab 22 33 ab 34 55 ab 43 55 ab （11）与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点 1111 ABCDABC DAB 1 CC 11 A D （A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个 （C）有且只有 3 个 （D）有无数个 （12）已知椭圆 C：+=1的离心率为，过右焦点 F 且斜率为 2 2 x a 2 2 b y (0)ab 2 3 k（k0）的直线与 C 相交于 A、B 两点，若=3，则 k=AFFB （A）1 （B） （C） （D）223 第第卷（非选择题）卷（非选择题） 二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 （13）已知是第二象限的角，则_. 1 tan 2 cos (14) 的展开式中的系数是_ 9 1 ()x x 3 x (15) 已知抛物线的准线为 ，过 M(1,0)且斜率为的直线与 相交 2 C2(0)ypx p：l3l 于点 A,与 C 的一个交点为 B,若，则等于_.AMMB p （16）已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆，AB 为圆与圆 N 的公共弦， AB=4，若 OM=ON=3，则两圆圆心的距离 MN=_. 三三 .解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分）（本小题满分 10 分）分） ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD=33, ,.求 AD. 5 sin 13 B 3 cos 5 ADC （18）（本小题满分）（本小题满分 12 分）分） 已知 n a是各项均为正数的等比例数列，且 12 12 11 2()aa aa ， 345 345 111 64()aaa aaa . () 求 n a的通项公式； （）设 2 1 () nn n ba a ,求数列 n b的前n项和 n T. （19）（本小题满分）（本小题满分 12 分）分） 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ACBC，AA1=AB，D 为 BB1的中点，E 为 AB1 上的一点，AE=3EB1. （）证明：DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线； （）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45o,求二面角 A1-AC1-B1的大小. （20）（本小题满分）（本小题满分 12 分）分） 如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1，T2，T3，T4，电流能通过 T1，T2，T3的概率都是，电流能通过 T4的概率是 0.9，电流能否通过各元件相互独立.已p 知 T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 （）求；p （）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率. （21）（本小题）（本小题满分满分 12 分）分） 已知函数 32 ( )331f xxaxx （）设，求的单调区间；2a ( )f x （）设在区间（2,3）中至少有一个极值点，求的取值范围.( )f xa （2222）（本小题满分）（本小题满分 1212 分）分） 已知斜率为 1 的直线 与双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 相交于 B、D 两点，且 BDl 的中点为.M(1,3) （）求 C 的离心率； （）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，证明：过 A、B、D三点的圆与DFBF =17 轴相切.x 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案和评分参考文科数学试题参考答案和评分参考 一、选择题一、选择题 1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. C 7. A 8. D 9. B 10. B 11. D 12. B 二、填空题二、填空题 13. 14. 84 15. 2 16. 3 2 5 5 三、解答题三、解答题 （17）解：）解： 由 3 cos0 52 ADCB 知 由已知得， 124 cos,sin 135 BADC 从而 sinsin()BADADCB =sincoscossinADCBADCB 41235 513513 . 33 65 由正弦定理得 , AD sinsin BD BBAD 所以 sin AD sin BDB BAD . 5 33 13 =25 33 65 （18）解：）解： （）设公比为 q，则.由已知有 1 1 n n aa q 11 11 234 111 234 111 11 2, 111 64. aa q aa q a qa qa q a qa qa q 化简得 2 1 26 1 2 64. a q a q ， 又，故 1 0a 1 2,1qa 所以 1 2n n a （）由（）知 2 21 21 111 242 4 n nnn n nn baa aa 因此 11 1 1 1 11411 4 14.41.224421 1 444 13 1 4 n n nnn n n Tnnn （19）解法一：）解法一： （）连结,记与的交点为 F.因为面 1 A B 1 A B 1 AB 为正方形，故，且.又 11 AA BB 11 A BAB 1 AF=FB ，所以，又 D 为的中点，故 1 AE=3EB 1 FE=EB 1 BB . 1 DEBFDEAB， 作,G 为垂足，由 AC=BC 知，G 为 AB 中点.CGAB 又由底面面，得.ABC 11 AA B BCG 11 AA B B 连结 DG，则，故,由三垂线定理，得. 1 DGABDEDGDECD 所以 DE 为异面直线与 CD 的公垂线. 1 AB （）因为，故为异面直线与的夹角，. 1 DGABCDG 1 ABCDCDG=45 设 AB=2，则，,. 1 AB2 2DG= 2CG= 2AC= 3 作,H 为垂足，因为底面,故， 111 B HA C 11111 A B CAAC C 面 111 B HAAC C 面 又作，K 为垂足，连结,由三垂线定理，得，因此 1 HKAC 1 B K 11 B KAC 为二面角的平面角 1 B KH 111 AACB 2 2 111111 1 11 1 22 2 3 ABACAB B H AC 22 1111 3 3 HCBCB H 22 11 1 1 2 3 2( 3)7, 3 7 AAHC ACHK AC 1 1 tan14 B H B KH HK 所以二面角的大小为 111 AACBarctan 14 解法二：解法二： （）以 B 为坐标原点，射线 BA 为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系x .Bxyz 设 AB=2，则 A（2,0,0,），D（0,1,0）， 1 B (0,2,0) 1 3 E(,0) 2 2 又设 C（1,0,c）,则. 1 1 1 DE0B A= 2,-2,0 ,DC= 1,-1,c 2 2 ， 于是. 1 DE B A=0,DE DC=0 AA 故, 1 DEB ADEDC， 所以 DE 为异面直线与 CD 的公垂线. 1 AB （）因为等于异面直线与 CD 的 1 ,B A DC 1 AB 夹角， 故 ， 11 cos45B A DCB A DC AA 即 ， 2 2 2 224 2 c 解得 ，故，2c AC(,22) -1 ， 又， 11 AA =BB =(0,2,0) 所以， 11 AC =AC+AA =( 1,22) ， 设平面的法向量为， 11 AAC( , , )mx y z 则 11 0,0m ACm AA AA 即22020 xyzy 且 令，则，故2x 1,0zy( 2,0,1)m 令平面的法向量为 11 ABC( , , )np q r 则，即 11 0,0n ACn B A AA220,220pqrpq 令，则，故2p 2,1qr ( 2,21)n 所以 . 1 cos, 15 m n m n m n A 由于等于二面角的平面角，,m n 111 A -AC -B 所以二面角的大小为. 111 A -AC -B 15 arccos 15 （2020）解：）解： 记表示事件：电流能通过 1 AT,1,2,3,4, i i A 表示事件：中至少有一个能通过电流， 123 TTT， B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过， （）相互独立， 123123 AA A AAAAAA ， , 3 123123 P( )()() () ()(1)AP A A AP A P A P ApAA 又 ，P( )1 P(A)=1 0.9990.001A 故 ， 3 (1)0.0010.9pp， （）， 44134123 BA +A A A +A A A AAAAAA 44134123 P(B)P(A +A A A +A A A A )AAAAA 44134123 P(A )+P(A A A )+P(A A A A )AAAAA 44134123 P(A )+P(A )P(A )P(A )+P(A )P(A )P(A )P(A ) =0.9+0.10.90.9+0.10.10.90.9 =0.9891 （2121）解：）解： （）当 a=2 时， 32 ( )631,( )3(23)(23)f xxxxfxxx 当时在单调增加；(,23)x ( )0,( )fxf x(,23) 当时在单调减少；(23,23)x( )0,( )fxf x(23,23) 当时在单调增加；(23,)x( )0,( )fxf x(23,) 综上所述，的单调递增区间是和，( )f x(,23)(23,) 的单调递减区间是( )f x(23,23) （）， 22 ( )3()1fxxaa 当时，为增函数，故无极值点； 2 10a( )0,( )fxf x( )f x 当时，有两个根 2 10a( )0fx 22 12 1,1xaaxaa 由题意知， 22 213,213aaaa 或 式无解，式的解为， 55 43 a 因此的取值范围是.a 5 5 4 3 ， （2222）解：）解： （）由题设知， 的方程为：，l2yx 代入 C 的方程，并化简，得， 2222222 ()440baxa xaa b 设 ， 1122 B( ,)(,)x yD xy、 则 2222 1212 2222 44 , aaa b xxx x baba 由为 BD 的中点知，故(1,3)M 12 1 2 xx 2 22 14 1 2 a ba 即， 22 3ba 故 22 2caba 所以 C 的离心率2 c e a （）由知，C 的方程为：， 222 33xya 2 1212 43 ( ,0),(2 ,0),2,0 2 a A aFaxxx x 故不妨设， 12 ,xa xa ， 22222 11111 BF