弦振动偏微分方程的求解

弦振动偏微分方程的求解(郑州航空工业管理学院数学与科学系，天硕450015)列举了不同条件下弦振动问题的定解方程及其条件，给出了不同条件下偏微分方程的求解方法，对我们的生活和研究具有一定的指导意义。关键词：数学物理方程；偏微分方程；弦振动；拉普拉斯变换弦振动偏微分方程的求解方法(郑州航空工业管理学院数学物理系，河南郑州450015)摘要本文列举了弦振动方程在不同情况下的定解和条件的建立，给出了在不同情况下求解偏微分方程的方法，对我们的生活和学习有一定的意义。关键词：数学物理方程；偏微分方程；振动弦；拉普拉斯变换在数学和物理方程中，根据常见的物理模型，可以建立求解的偏微分方程。例如，拉普拉斯方程、泊松方程、波动方程、热传导方程等在许多物理实际问题中都会遇到。讨论偏微分方程的求解具有重要的意义和应用。对于不同的偏微分方程，通常有不同的解，这取决于方程本身的特性。选择合适的方法不仅可以简化问题，有时还能反映方程背后更深层的物理意义。理想弦的振动方程是一维波动方程的特例。本文将给出不同条件下弦振动的偏微分方程，并在一定程度上讨论其解。一、无界弦的自由振动无界弦的自由振动问题不仅是一个满足下列条件的偏微分方程1:对于这个偏微分方程，我们可以类似于求解常微分方程的初始问题。首先，我们可以找到通解，然后我们可以把初始条件代入通解来确定任何常数，这样我们就可以得到初始问题的解。做变量代换，代入偏微分方程，整理得出：，方程的一般解是：替代初始条件，有：公式(2)的积分：结合等式(1)和(3)，解如下：所以我们得到了：这是一维无界弦的自由振动解的表达式，称为达朗贝尔公式。由于对U没有限制，只要一维波动方程有解，解必须由达朗贝尔公式给出，而且解是唯一的。第二，有界弦的自由振动。描述了两端固定的有界弦自由振动的混合问题；对于这个问题，分离变量的方法是合适的。在第一步中，分离变量，并且以满足广义方程和边界条件的分离变量的形式分析和求解一族非零特殊解，使得不能首先估计初始条件。Make:将其代入方程，得到把两边分开这个方程的左端只是T的一个函数，右端只是X的一个函数，而X和T是两个独立的变量，所以这个方程只有当两边都是常数时才能成立。如果该常数为，则得到一个常微分方程：和它的边值问题(正因为如此；因此，类似地)所以第二个常微分方程是：第二步是解决内在价值问题如何找到满足条件的固有值，使常微分方程边值问题有非零解。有三种情况需要讨论。(1)，则方程为：一般解为：从边界条件来看，A=0；B=0，不符合要求。、不妨集，那么方程的一般解是：根据边界条件不难发现A=B=0，这也不符合要求。(3)、不妨设置()，那么方程的一般解是：从条件X(0)=0，知道，A=0，然后从条件，得到因为b不能再次为零，所以肯定有或者：我们称之为内在价值，非零解对应于第四步是确定级数解中系数的和初始条件：和，由正弦膨胀系数公式，得到：通过这种方法，我们得到了如下问题的明确解：3.无界弦的强迫振动这个问题的偏微分方程是：对于这个问题，拉普拉斯变换更便于计算2。拉普拉斯变换在广义方程中的应用获取：代入初始条件，非齐次常微分方程的通解为考虑到和不应该是无穷大，所以A=0，B=0。为了保证积分收敛，取第一个积分下限，取第二个积分下限。因此对于第一个括号，使用延迟定理，然后因此类似地对于第三个括号，替换并添加一个因子，然后获得第一个括号中原始函数的替换行为和t的导数，以获得第三个括号中的原始函数，如下所示：对于第二个括号，应用卷积定理同样：获得问题解的表达式如下：4.半无界弦的自由振动这个问题是以下问题的解决方案3:做拉普拉斯变换。集，有：使用初始条件，上述方程变为：原始方程的图像为：答案是：a和b需要由边界条件决定。当对一对进行拉普拉斯变换时，由图像函数满足的边界条件是原始函数的边界条件的图像。因此：即。所以A=0还有一些边界条件可以通过代入得到。所以去吧做这个公式的反演。(延迟定理)根据积分定理，反演后的函数表达式如下：当时，有当时，有所以你可以写所以方程的定解可以写成综上所述，我们总结了弦振动偏微分方程在不同条件下的解，并根据不同的条件提出了不同的求解弦振动偏微分方程的方法。这对我们学习和巩固偏微分方程在物理中的应用有很好的应用，便于我们深入理解物理问题，对我们的实际生活有一定的指导意义。参考：1阎振军。数学和物理方法