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第二章行列式,2.5行列式的计算,2/48,一、利用定义计算行列式,定义,3/48,二、利用性质计算行列式,ri表示行列式的第i行,ci表示行列式的第i列k为常数.(1)交换第i,j行(列)rirj(cicj)(2)k乘第i行(列)加到第j行(列)上rj+kri(cj+kci),4/48,1.化成三角形行列式,步骤：设行列式D,1）若a11=0,用性质7交换两行(列)使a110，得D1.否则转步骤2.,2）第一行乘适当倍数加到后n-1行，使每行第一个数为0，得D2，则D2=D1.,3）若在D2中a22=0,用性质7交换两行(列)使a220，得D3=D2.否则转下一步.,5/48,4）第二行乘适当倍数加到后n-2行，使后n-2行的第二列元素为0，得D4=D3.5）如此反复即得上三角形行列式.,6/48,例2计算行列式,7/48,2.一行(列)与另一行(列)的分行(列)成比例,例3计算解:,常利用性质6将成比例的部分消掉,8/48,练习,9/48,3.行和或列和相等的行列式,例4计算,解:,10/48,各行加到第一行或各列加到第一列,提取公因式,再利用性质求值,11/48,4.某行(列)元素为两个或多个数的代数和,例4计算,解:,12/48,例5计算,解:,13/48,14/48,例6.证明：,15/48,证明:,方法一:对k用数学归纳法k=1,按第一行展开即可.设k=m-1时等式成立k=m时,按第一行展开,根据行列式展开公式即得等式成立.,16/48,方法二:,17/48,18/48,19/48,三、利用按行(列)展开定理计算行列式,一般先利用性质将某行(列)的元素尽可能多的化为0,再利用定理降级以简化计算,例6.证明范德蒙行列式,20/48,证：用数学归纳法.,时，,假设对于级范德蒙行列式结论成立即,结论成立,21/48,把从第n行开始，后面一行减去前面一行的,倍，得,下证对于n级范德蒙行列式结论也成立.,22/48,23/48,范德蒙行列式中至少两个相等,注：,24/48,练习：,1.计算行列式,2.设求,答案：,25/48,1）范德蒙行列式,四、特殊行列式的计算,26/48,消去第一列（行）后成三角行列式直接按第一行（列）展开,例如,爪型行列式,27/48,消去第一列（行）后成三角行列式,解一:,28/48,解二:,直接按第一行（列）展开,29/48,一般除主对角线上的元素,其余元素全部相同的行列式都可化成爪型行列式,例如，,30/48,例如,直接按第一列(最后一
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