线性系统的稳定性及判据

中国高新技术企业 线性系统的稳定性及判据 文/李童彬 【 摘 要 】稳定性是系统的一个基本结构特征 , 是控制系统正常工 作 的 首 要 条 件,因 此 对 稳 定 性 的 研 究 一 直 是系统控制理论的热点。对稳定性的研究方法除了古典控制理论的经典判据外,用得最多的就是现代控制理 论中的李雅普诺夫第一法和第二法。本文将结合两种方法, 介绍稳定性的定理判据。 【 关键词】 系统稳定性特征多项式劳斯稳定判据李雅普诺夫方程 一、 引言 稳定性是控制系统的重要性能,也是系统能够正常运行的首要 条件。在许多实际问题中所建立的方程系统往往 是 非 线 性 的 , 它 要 比 线 性 情 况 复 杂 的 多 , 这 时 我 们 采 取 经 过 理 想 化 , 略 去 某 些 次 要 因 素,使得线性化的方法。控制系统在实际运行过程中,总会受到外界 和内部一些因素的扰动,例 如 负 载 和 能 源 的 波 动 、 系 统 参 数 的 变 化 、 环 境 条 件 的 改 变 等 , 如 果 系 统 不 稳 定 , 就 会 在 任 何 微 小 的 扰 动 下 偏 离 原 来 的 平 衡 状 态 , 发 生 振 荡 越 来 越 严 重 的 现 象 , 从 而 导 致 系 统 不 能正常工作。 因此,系统稳定性的判别就成为自动控制理论研究的最 基本任务之一。 二、 稳定性的判断定理 对稳定性的判别,前人已经提出许多方法 , 概括地说主要有: 古 典控制理论中的劳斯-胡尔维茨稳定判据、 根轨迹法和奈奎斯特、 对 数频率稳定判据等; 现代控制理论中的李雅普诺夫第一法和第二法。 劳斯稳定判据是一种通过列写劳斯表, 判断第一列各值的符号 来判定系统稳定性的方法,常用于较易得到系统闭环传递函数的系 统。 劳斯于1 8 7 7年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是 否存在位于复平面右半部的正根 , 而不必求解方 程 。 当 把 这 个 判 据 用于判断系统的稳定性时, 又称为代数稳定判据 。 应 用 劳 斯 判 据 分 析 系 统 的 稳 定 性 时 , 可 按 下 述 方 法 进 行 : 将 系 统 的 特 征 方 程 写 成 如 下标准形式 (2 - 1) 并将该方程各项系数组成如下排列的劳斯表 其中 系数b i的计算一直进行到 其 余 的b值 全 部 等 于 零 为 止 。 用 同 样的前两行系数交叉相乘的方法, 可以计算c, d , e, f, g各 行的系数。即 计算过程一直进行到第n + 1行为止。为使运算简化, 计算过程 中 , 可 用 一 个 正 整 数 去 乘 或 除 某 一 行 的 各 项 , 这 将 不 改 变 劳 斯 判 据 判断系统稳定性的结果。劳斯稳定判据的内容为 : 如 果 劳 斯 表 中 的 第 一 列 系 数 都 具 有 相 同 的 符 号 , 则 系 统 是 稳 定 的 , 否 则 系 统 是 不 稳 定的, 且不稳定根的个数等于劳斯表第一列系数符号改变的次数。 根 轨 迹 法 是 一 种 图 解 方 法 , 是 根 据 系 统 开 环 零 、 极 点 的 分 布 来 研 究 闭环系统的稳定性的一种很实用的工程方法 ; 对 于 不 知 道 系 统 的 开 环 传 递 函 数 或 无 法 应 用 劳 斯 稳 定 判 据 、 根 轨 迹 法 来 进 行 判 断 的 系 统, 应用奈奎斯特、 对数频率稳定判据 , 通过绘制开环奈奎斯特曲 线 或对数相频、 幅频曲线来进行相应判别就显得非常方便。 N y q u i s t稳 定 性 判 据 : 假 如S沿 着N y q u i s t路 线 绕 一 周 ,G(j W)H (j w) 轨 线 绕 (- 1,j 0) 点 的 周 数 为F(S) 在 右 半S平 面 内 的 零 点 与 极 点的个数之差。即N - 1 = Z - 1P - 1。当Z - 1 = 0时, 闭环系统稳定, 否 则系统不稳定。所以, 奈奎斯特判据稍加推 广 还 可 用 来 分 析 某 些 非 线性系统的稳定性。 李雅普诺夫第一法又称间接法,通过求解 系 统 状 态 方 程 的 解 或 计算系统矩阵的特征多项式和特征值来判别系统的稳定性。李雅普 诺夫第一法通过分析系统微分方程的显式解 来 分 析 系 统 的 稳 定 性 , 对线性定常系统, 它可以直接通过系统的特 征 根 情 况 来 分 析 。 其 基 本思路与经典控制论中的稳定性判别思路基本一致。 设线性定常系统的动态方程为: ( 2 - 2 ) 在讨论系统状态稳定 性 ( 内 部 稳 定 ) 时 , 可 以 不 考 虑 系 统 的 输 入 结构和输入信号u,只从系统的齐次状态方程或矩阵A出发。很明 显, 当| A | 0时,Xe= 0是系统的唯一平衡点。 对于Xe= 0的稳定性, 我 们有如下判据(Xe大范围渐进稳定的充要条件 ) : 当线性定常系统的 系 统 矩 阵A的 所 有 特 征 根 都 有 负 的 实 部 时 , 其 唯 一 的 状 态 平 衡 点 Xe= 0是渐进稳定的, 而且是大范围渐进稳定。 对于(2 - 2) 所示系统, 其输入输出的传递函数为 :W( S ) = C ( S I - A ) - 1 b当W( S )的 极 点 全 部 都 有 负 实 部 时 , 该 系 统 有 界 的 输 入 将 引 起 有 界的输出(B I B O) , 也就是说系统是输出稳定的。可以证明, 当(2 - 2) 式所示系统的传递函数W( s )没有零极点对消时, 系统的状态稳定性 和系统的输出稳定性是一致的。 李雅普诺夫第二法也称直接法,直接由系统的运动方程出发,通 过构造一个类似于 “ 能 量 ” 的 李 雅 普 诺 夫 函 数,并 分 析 它 及 其 一 次 导 数的定号性而获得系统稳定性的有关信息。 第二法因其概念直观,方 法具有一般性,物理意义清晰,在理论和工程中都有广泛应用。 李 雅 普诺夫稳定判据不仅适用于线性定常系统,还可用于部分时变系统 和离散系统。李雅普诺夫第二法不必求解系 统 的 状 态 方 程 , 而 是 通 过 一 个 系 统 的 能 量 函 数 来 直 接 判 断 系 统 的 稳 定 性 , 所 以 又 称 直 接 法。它不但适合线性定常系统, 而且适用于非线性和时变的系统。 在 实 际 系 统 中 , 往 往 不 容 易 找 出 系 统 的 能 量 函 数 , 于 是 李 雅 普 诺 夫 定义了一个正定的标量函数V ( x ), 作为系统的一个虚构的广 义 能 量 函数。根据V ( x )的符号性质, 可以判断系统的状态稳定性。 设系统状态方程为: (2 - 3) 其中Xe= 0为系统的一个平衡状态。 如果存在一 个 正 定 的 标 量 函 数V ( x ), 并 且 具 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数, 那么根据的符号性质, 我们有: 科技论坛 8 2- 中国高新技术企业 (上接8 1页) I C A O标准的护照、 签证和其他旅行证件。可使用机器阅读的数字水 印正被考虑用于保证护照和签证的安全性 , 也可 用 于 保 证 新 型 的 芯 片护照的防伪安全。 四、 结束语 数字水印技术属于个性化防伪技术, 它是与个性特征相结合的 独一无二的防伪措施, 其防伪特征具有惟一性。知名企业、 知名品牌 可以运用数字水印防伪系统来保护本企业忠 实 消 费 者 的 合 法 利 益 , 增 加 消 费 者 的 安 全 感 和 信 任 度 , 扩 大 市 场 份 额 , 是 企 业 在 发 展 过 程 中打击假冒伪劣产品的有效手段。除此之外 , 数 字 水 印 技 术 以 其 独 特的优势在数字作品、 音像制品的版权保护、 信息安全、 通讯保密 方 面等领域也具有广阔的市场应用前景。 (作者单位系江苏工业学院) (上接8 0页) 向击穿导通, 使三极管V T 1导通, “b” 点电位降低,V T 2截止, 切断了 起动继电器线圈电路, 其触点跳开, 电磁开关也断电, 起动机便自动 停止工作。 如果充电系 出 故 障 , 而 发 动 机 正 常 工 作 , 这 时 , 通 过 发 动 机 转 速 检 测 电 路 输 出 高 电 位 , 作 用 在 分 压 器 “c” 点 的 电 压 , 即 稳 压 管 V S 2, 承 受 的 反 向 电 压 , 超 过 其 反 向 击 穿 电 压 而 被 反 向 击 穿 导 通 , 使 三 极 管V T 3导 通 , “b” 点 电 位 降 低 ,V T 2截 止 , 切 断 了 起 动 继 电 器 线 圈电路, 其触点跳开, 电磁开关也断电, 起动机便自动停止工作。 3、 起动控制电子保护器的保护效果 试用结果证明: 在充电系工作正常或不正常时都能在发动机起 动后自动停止起动机的工作, 起到安全保护作用。 4、 起动控制电子保护器的研发价值 起动控制电子保护器的研发成功, 能广泛应用没有自动波控制 的 汽 车 上 , 如 用 于 第 二 代 福 美 莱 轿 车 、 广 本 轿 车 、E Q 1 0 9 0型 和 B J 2 0 2 0型等汽车的起动系统控制电路中,可避免由于起动误操作造 成离合器打滑、 驱动齿轮损坏等情况,保证车辆的正常运行。也可用 于驾培和实验实训车上 , 以提高汽车安全、 可靠的起动 , 延长汽车 起 动机的使用寿命, 降低培训成本。 起动控制电子保护器是目前国内外仅有的、实用的机动车辆起 动控制保护电路, 因此已申报国家应用技术专利。 四、 结语 根据起动控制电子保护器在丰田轿车上的试用结果证明 :在发 动 机 起 动 后 , 点 火 开 关 没 能 及 时 返 回 点 火 挡 , 起 动 电 子 保 护 器 可 在 充电系工作正常或不正常的情况下, 都能切 断 了 起 动 继 电 器 线 圈 电 路, 其触点跳开, 电磁开关也断电, 起动机便自动停止工作起到安 全 保护作用。 起动控制电子保护器实用价值在于能够安全、可靠地控制起动 系 的 工 作 , 是 起 动 控 制 电 路 的 创 新 , 带 电 子 保 护 器 的 汽 车 起 动 控 制 电路是目前起动系控制电路的首选。 (作者单位系湖南交通职业技术学院汽车系) (上接7 6页) 表1到发线安排运用计划 6结束语 目前, 随着高速铁路建设的 日 趋 进 行 , 应 用 所 建 立 的 模 型 及 求 解 方 法 编 制 到 发 线 运 用 计 划 , 不 仅 提 高 车 站 的 行 车 作 业 效 率 , 对 客 运服务质量的提高也是非常有益的。 参考文献 1 杨浩,何世伟.铁路运输组织学.中国铁道出版社. 2 0 0 1 . 2 杨肇夏.计算机模拟及其应用,中国铁道出版社. 1 9 9 9 . 3 齐欢,王小平.系统建模与仿真,清华大学出版社. 2 0 0 4 . 4 张海藩.软件工程导论.清华大学出版社. 1 9 9 8 . 5 刘军.编组站作业计划滚动式智能化编制方法的研究.北方交通大 学博士论文. 1 9 9 3 ( 1 2 ) . (作者单位系北京交通大学交通运输学院) 1若, 则Xe= 0不稳定; 2若, 则Xe= 0李雅普诺夫稳定; 3若 0, 或者 0但X 0时不恒 为 零 , 则Xe= 0渐 进稳定; 4若Xe= 0渐进稳定, 并且当| | X | | 时 ,V ( X ) , 则 大 范 围 渐进稳定Xe= 0。 应当指出, 上述稳定性判据 只 是 一 个 充 分 条 件 , 并 不 是 必 要 条 件。如果给定的V ( x )满足上述四个条件之一 , 那么其结果成立。反 之 , 如 果 给 定 的V ( x )不 满 足 上 述 任 何 一 个 条 件 , 那 么 只 能 说 明 所 选 的V ( x )对(2 - 3) 所示系统失效, 必须重新构造V ( x )。 然而无论是劳斯表的列写还是李雅普诺夫函数的构造、 特征值 的求解,或者是根轨迹、 奈奎斯特曲线、 对数相频幅频曲线的绘制, 一 般都是相当复杂的。 在发展日新月异的当今社会,能否更快更好的判 断出系统的稳定性, 快速解决问题, 就显得尤为重要。线性系统的稳 定性是其自身的属性 , 只取决于系统自身的结构、 参数 , 与初始条件 及外作用无关。线性定常系统如果稳定, 则它一定是大范围稳定的, 且原点是其惟一的平衡点。用M A T L A B工 具 可 以 方 便 计 算 , 大 大 加 速稳定性的判断。 三、 结束语 稳定性的重要性不言而喻,所以稳定判据的 研 究 就 成 为 了 自 动 控制理论中一个重要的领域。本文介绍了古典劳斯-胡 尔 维 茨 稳 定 判据,李雅普诺夫第一法, 第二法判断系统的稳定性。其共同构成了 稳定行判断的基础, 对控制理论研究