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第三章现代谱估计3.1离散随机过程与非参数化谱估计3.1.1离散随机过程x(n)是连续随机过程x(t)的均匀采样.,先采样再计算还是先计算再采样？离散随机过程x(n)是广义平稳的，若其均值为常数，自相关函数只取决于时间kn1-n2，即,离散随机过程x(n)和y(n)是广义联合平稳的，若二者均为广义平稳，且互相关函数只取决于时间kn1-n2，即,平稳离散随机过程x(n)的功率谱为自相关函数的Fourier变换，即,其反变换（Fourier级数）为,互功率谱可定义为,3.1.2非参数化功率谱估计直接法（先计算Fourier变换）和间接法（先计算自相关函数）。1）直接法,2）间接法,3.2平稳ARMA过程若离散随机过程xt服从线性差分方程,Z变换后可得A(z)X(z)=B(z)E(z).,记为ARMA(p,q).,定义3.2.1(因果稳定性)一个由A(z)X(z)=B(z)E(z)定义的ARMA过程是因果稳定的，或称x(n)是e(n)的因果稳定函数，若存在一常数序列满足下列条件：,定理3.2.1令x(n)是一个A(z)和B(z)无公共零点的ARMA(p,q)过程，则x(n)是因果稳定的，当且仅当A(z)的零点都在单位圆内.,定义3.2.2(可逆性)一个由A(z)X(z)=B(z)E(z)定义的ARMA过程是可逆的，若存在一常数序列i满足下列条件：,定理3.2.2令x(n)是一个A(z)和B(z)无公共零点的ARMA(p,q)过程，则x(n)是可逆的，当且仅当B(z)的零点都在单位圆内.,定理3.2.3若对所有|z|1有A(z)0，则ARMA过程A(z)X(z)=B(z)E(z)具有唯一的平稳解,定理3.2.4任何一个具有有限方差的ARMA或MA过程都可以表示为唯一的、阶数可能为无穷大的AR过程；同样，任何一个ARMA或AR过程也可以表示为一个阶数可能为无穷大的MA过程。,3.3平稳ARMA过程的功率谱密度3.3.1ARMA过程的功率谱密度定理3.3.1令y(n)是一具有零均值的离散平稳随机过程，其功率谱密度为Py()。若x(n)是由,定理3.3.2令x(n)是一个满足差分方程,的平稳ARMA(p,q)过程，e为均值为零方差为2的白噪声，则x(n)的功率谱密度为,3.3.2功率谱等价功率谱等价不同ARMA模型得到的信号可能具有相同的功率谱。设ARMA模型为：,ARMA过程x(n)的功率谱密度为：,结论：如果系统是非因果的或者是非最小相位的，利用功率谱密度，只能辨识出|H(ej)|，而不能辨识出H(ej).可利用互功率谱密度或高阶矩统计量辨识此类系统。,3.4ARMA谱估计问题:利用N个已知的观测数据x(0),x(1),x(N-1)估计出ARMA过程x(n)的功率谱密度。直接使用式(3.3.6)估计时，需要辨识出整个ARMA模型及激励噪声的方差。MA参数的估计需要解非线性方程。3.4.1ARMA功率谱估计的两种线性方法1.Cadzow谱估计问题：已知条件是什么？,优点：避免了MA阶数和参数的确定以及激励白噪声方差的估计。,2.Kaveh谱估计,问题：已知条件是什么？,3.4.2修正Yule-Walker方程在Cadzow谱估计和Kaveh谱估计中，都需要已知AR阶数和参数。,定理3.4.1(AR参数的可辨识性)若ARMA(p,q)模型的多项式A(z)和B(z)无对消因子,且ap0，则该模型的参数a，ap可由以下p个修正Yule-Walker方程确定,由定理3.4.1可知，当ARMA(p,q)过程x(n)的AR阶数p和自相关函数Rx()已知时，只需求解p个Yule-Walker方程，便可辨识出AR参数。然而在实际应用中，AR阶数p也是未知的，因此还需先确定p.,3.4.3确定AR阶数的奇异值分解方法,3.5ARMA模型辨识在一些应用中，不仅希望得到AR阶数参数，而且还希望获得MA阶数和参数。3.5.1MA阶数确定,3.5.2MA参数估计,实验二：,的ARMA过程。,基本要求：将系统视为灰箱（可以利用方程的结构信息，p=3,q=2），根据系统的输入输出关系确定当e(n)为N(0,1)白噪声时输出功率谱密度的有理分式表达式。发挥部分：将系统视为黑箱（p,q未