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48-1,48-2,48-3,48-4,48-5,48-6,48-7,例2,解,右连续但不左连续,48-9,48-10,例2.6.7,证,48-12,48-13,48-14,1.跳跃间断点,例4,解,2.可去间断点,例2.6.7,解,注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,如上例中,特点,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,例6,解,4、振荡间断点：如果在点处无极限且函数值在某两个最值间变动无限多次，则称为函数的振荡间断点.,例2.6.8,在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.,判断下列间断点类型:,函数,例2.6.9,解,例2.6.10函数在点是否间断?属于那种类型?能否补充或改变函数在该点定义使之连续?解函数在点没有定义,所以是函数的间断点.对于,.,因为,所以是第一类间断点.令,即可使函数在处连续.对于,因为,所以是第二类间断点且为无穷间断点.,48-26,48-27,48-28,48-29,48-30,48-31,定理2.6.4,证,将上两步合起来:,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,例1,解,例2,解,同理可得,定理2.6.5,例如,48-37,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,定理5基本初等函数在定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续),定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,注意,注意2.初等函数求极限的方法代入法.,例3,例4,解,解,小结,连续函数的和差积商的连续性.,复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.,两个定理;两点意义.,反函数的连续性.,思考题,思考题解答,是它的可去间断点,等价无穷小替换,定理(等价无穷小替换定理),证,48-46,例2.6.16,解,例2.6.17,解,48-49,48-50,小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,思考题,思考题解答,且,但反之不成立.,例,但,48-56,48-57,48-58,48-59,48-60,48-61,48-62,48-63,48-64,48-65,48-66,48-67,例2.6.26,证,由零点定理,小结,四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意1闭区间；2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;
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