《高等数学》(北大第二版_)5-3空间中平面及直线的方程.ppt

,1.平面的方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,5-3空间中平面与直线的方程,平面的点法式方程（1）可以化成,例1已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：,即,补例求过三点,即,解取该平面的法向量为,的平面的方程.,利用点法式得平面的方程,例2已知一平面的方程为,解,于是,平面的一般方程,由于平面的点法式方程是x,y,z的一次方程,而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.反过来,可以证明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面.方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程,其法线向量为n=(A,B,C).,例如,方程3x-4y+z-9=0表示一个平面,n=(3,-4,1)是这平面的一个法线向量.,例3将平面的一般式方程3x+4y+6z=1化成点法式方程.,解,先在平面上任意选定一点，,比如（-3，1，1）.,则有,平面的三点式方程,已知不在同一直线上的三点,与不共线,即,以作为所求平面的法向量.,设是平面上任一点,显然垂直于,此混合积的坐标形式为:,解,所求的平面方程是,特殊情形,当D=0时,Ax+By+Cz=0表示,通过原点的平面;,当A=0时,By+Cz+D=0的法向量,平面平行于x轴;,Ax+Cz+D=0表示,Ax+By+D=0表示,Cz+D=0表示,Ax+D=0表示,By+D=0表示,平行于y轴的平面;,平行于z轴的平面;,平行于xoy面的平面;,平行于yoz面的平面；,平行于zox面的平面.,解:,因平面通过x轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,补例求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.,平面的截距式方程,同理求得,平面的截距式方程为,两平面的夹角,设平面1和2的法线向量分别为n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2),那么平面1和2的夹角应满足,两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.,平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直的充要条件是A1A2+B1B2+C1C2=0.,两平面垂直的条件,两平面平行的条件,平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的充要条件是A1:A2=B1:B2=C1:C2.,平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:,例8试决定常数与使得平面,解,两平面垂直要求其向量垂直，即有,因此有,补例一平面通过两点,垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.,解:设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C,得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,2.空间直线方程,因此其一般式方程,一般式方程,直线可视为两平面交线，,机动目录上页下页返回结束,例9联立方程,的解是(3,4,z),其图形是平面x-3=0与y-4=0的交线，它,平行于z轴.,代表平面y=5x+1与平面y=x-3的交线.,例10联立方程,求通过点M0(x0,y0,z0),方向向量为s=(m,n,p)的直线的方程.,(x-x0,y-y0,z-z0)/s,从而有,这就是直线的方程,叫做直线的对称式方程或标准方程.,则从M0到M的向量平行于方向向量:,设M(x,y,z)为直线上的任一点,如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫做这条直线的方向向量.,方向向量,对称式方程,通过点M0(x0,y0,x0),方向向量为s=(m,n,p)的直线方程:,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,直线方程为,例如,当,直线方程为,此方程组就是直线的参数方程.,参数式方程:,例11将一般方程,解先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令x=1,解方程组,得,已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,化成标准方程及参数方程.,故所给直线的标准方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,两直线的夹角,两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角.,设直线L1和L2的方向向量分别为s1=(m1,n1,p1)和s2=(m2,n2,p2),那么L1和L2的夹角j满足,两直线垂直与平行的条件,设有两直线,L1L2m1m2+n1n2+p1p2=0;,则,方向向量分别为(m1,n1,p1)和(m2,n2,p2)的直线的夹角余弦:,提示：,直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为90.,设直线的方向向量为s=(m,n,p),平面的法线向量为n=(A,B,C),则直线与平面的夹角j满足,方向向量为(m,n,p)的直线与法线向量为(A,B,C)的平面的夹角j满足,直线与平面垂直和平行的条件,设直线L的方向向量为s=(m,n,p),平面P的法线向量为n=(A,B,C),则,L/PAm+Bn+Cp=0.,上述方程表示通过定直线L的所有平面的全体,称为平面束.,平面束,考虑三元一次方程:,A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0,即(A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中l为任意常数.,补例.求直线,在平面,上的投影直线方程.,解过已知直线的平面束方程,从中选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,2.平面与平面之间的关系,