§2.1,2 LTI连续系统的响应.ppt

微分方程的经典解关于0-和0+初始值零输入响应和零状态响应,2.1LTI连续系统的响应,第二章连续系统的时域分析,LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。,一、微分方程的经典解,y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t),微分方程的经典解：完全解=齐次解+特解。,对于一个单输入单输出的LTI连续系统，可以用下面的一个n阶常系数线性微分方程描述,其中n可以大于m，也可以小于m。,1.齐次解,步骤：特征方程特征根写出齐次解形式,有重根的情况：（1）r重实根,没有重根的情况：,（2）一对共轭复根,（3）r重共轭复根,齐次解举例,解：系统的特征方程为,特征根,对应的齐次解为,2.特解,根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式代入原方程，比较系数定出特解。,激励f(t),响应y(t)的特解yp(t),3.全解,完全解=齐次解+特解,齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。,由初始值定出齐次解中的待定常数Ci。,全解举例,例描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求（1）当f(t)=2e-t，t0；y(0)=2，y(0)=-1时的全解；（2）当f(t)=e-2t，t0；y(0)=1，y(0)=0时的全解。,解:(1)特征方程为2+5+6=0其特征根1=2，2=3。齐次解为yh(t)=C1e2t+C2e3t当f(t)=2et时，其特解可设为yp(t)=Pet将其代入微分方程得Pet+5(Pet)+6Pet=2et解得P=1于是特解为yp(t)=et,全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e2t+C2e3t+et其中待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2，y(0)=2C13C21=1解得C1=3，C2=2最后得全解y(t)=3e2t2e3t+et,t0,（2）齐次解同上。当激励f(t)=e2t时，其指数与特征根之一相重。故其特解为yp(t)=(P1t+P0)e2t代入微分方程可得P1e-2t=e2t所以P1=1但P0不能求得。特解为yp(t)=(t+P0)e2t,全解,全解为y(t)=C1e2t+C2e3t+te2t+P0e2t=(C1+P0)e2t+C2e3t+te2t将初始条件代入，得y(0)=(C1+P0)+C2=1，y(0)=2(C1+P0)3C2+1=0解得C1+P0=2,C2=1最后得微分方程的全解为y(t)=2e2te3t+te2t,t0上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。,二关于0-和0+初始值,若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t=0+时刻的初始值，即y(j)(0+)(j=0,1,2，n-1)。而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。注意：起始值或初始状态指（0-），初始值或初始条件指（0+）通常，需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。,当微分方程右端含有冲激函数时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。否则不会跃变。y(j)(0+)求法：（1）多项式法：见书44页例2.1-3；（2）系数平衡法:两端奇异函数及其各阶导数的系数对应相等。也叫系数匹配法。此法更加简单、常用。,关于多项式法,若一个二阶LTI连续系统，描述它的微分方程右端含有冲击函数的最高阶导数为一阶,其中r1(t),r2(t),r3(t)均为不含及其各阶导数。,（2）将上式代入原方程中，根据奇异函数的各阶导数系数相等的原理，比较方程两端的系数，求得待定系数a,b。（3）将a,b代回上式，前两个等式两端从0-到0积分，直接求解y(0+),y(0+)。,（1）设,关于系数平衡法,步骤：（1）考虑y(n)(t)中是否含有冲击函数及其导数，以及导数的阶数是多少，来判断y(j)(0+)和y(0+)的连续性。（2）对原方程两端从0到0积分，根据函数连续性和方程关系确定出y(j)(0+)。,0和0+初始值举例,例：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。,解：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得y”(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6(t)（1）利用系数平衡法分析：上式对于t=0-也成立，在0-0时，有yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=6不难求得其齐次解为Czs1e-t+Czs2e-2t，其特解为常数3，于是有yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3代入初始值求得yzs(t)=4e-t+e-2t+3，t0,思考,例：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0+)=2，y(0+)=2，f(t)=(t)，求该系统的零输入响应和零状态响应。,解：（1）零状态响应yzs(t),yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t)并有yzs(0-)=yzs(0-)=0由于上式等号右端含有(t)，故yzs”(t)含有(t)，从而yzs(t)跃变，即yzs(0+)yzs(0-)，而yzs(t)在t=0连续，即yzs(0+)=yzs(0-)=0，积分得yzs(0+)-yzs(0-)+3yzs(0+)-yzs(0-)+2,因此，yzs(0+)=2+yzs(0-)=2,对t0时，有yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=6不难求得其齐次解为Czs1e-t+Czs2e-2t，其特解为常数3，于是有yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3代入初始值求得yzs(t)=4e-t+e-2t+3，t0,（2）零输入响应yzi(t)yzi”(t)+3yzi(t)+2yzi(t)=0该齐次方程的特征根为1，2，故yzi(t)=Czi1et+Czi2e2tyzi(0+)=y(0+)yzs(0+)=202yzi(0+)=y(0+)yzs(0+)=22=0代入初始值并解得系数为Czi1=4,Czi2=2，代入得yzi(t)=4et2e2t，t0,2.2冲激响应和阶跃响应,冲激响应阶跃响应,一、冲激响应,1定义,由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t),2系统冲激响应的求解,冲激响应的数学模型,响应及其各阶导数(最高阶为n次),对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示,激励及其各阶导数(最高阶为m次),h(t)解答的形式,例:当特征根均为单根时,由于(t)及其导数在t0+时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。,nm，h(t)不含(t)及其各阶导数；n=m，h(t)包含(t)；nm，h(t)包含(t)及其导数,求系统冲激响应。,冲激响应求解举例,解：,求特征根,冲激响应,f(t)(t)，y(t)h(t),带(t),初始条件未给出，能否求解C1,C2？,求待定系数的方法：,求0+法,奇异函数项系数平衡法,由系统的线性时不变性质求,法一：求0+值确定系数,代入h(t)，确定系数C1,C2，得,（1）比较m与n的大小。（2）明确（3）对原方程两端从0到0积分，根