控制系统的稳定性分析.ppt

1,第三章控制系统的稳定性分析,3-1李亚普诺夫第二方法概述3-2李亚普诺夫意义下的稳定性3-3李亚普诺夫稳定性定理3-4线性系统的李亚普诺夫稳定性分析3-5非线性系统的李亚普诺夫稳定性分析概述,2,3-1李亚普诺夫第二方法概述,稳定性是系统正常工作的前提,3,控制系统的稳定性，它表示系统能妥善地保持预定的工作状态，耐受各种不利因素的影响。,线性定常系统,描述系统动态特性的特征方程式的根都分布在根平面虚轴的左半部分。,稳定性判据,时变系统和非线性系统,奈魁斯特稳定判据及劳斯稳定判据等,19世纪末俄国数学家李亚普诺夫提出的稳定性理论当作分析系统稳定性的重要方法。,李亚普诺夫方法分为,李亚普诺夫第一法和第二法,4,李亚普诺夫第一方法,李亚普诺夫第一方法称为第一近似方法，是解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。间接法,对于非线性系统，在工作点附近的一定范围内，可以用线性化了的微分方程式来近似地加以描述。如果线性化特征方程式的根全都是负实数根，或者是具有负实部的复根，则该系统在工作点附近是稳定的，否则是不稳定的。,5,李亚普诺夫第二方法,李亚普诺夫第二方法称为直接法，基本思想是用能量变化的观点分析系统的稳定性。,若系统储存的能量在运动过程中随时间的推移逐渐减少，则系统就能稳定；反之，若系统在运动过程中，不断地从外界吸收能量，使其储能越来越大，系统就不能稳定。,不必求解微分方程,给出的稳定性信息是准确的,而非近似的,通用方法,6,二次型及其定号性,n个变量,的二次齐次多项式为：,用矩阵表示为：,必须指出，二次型是一个标量，最基本的特性就是它的定号性。,二次型,P常取对称矩阵,7,正定性,时，才有,对任意非零,，恒有,例如：,负定性,例如：,当且仅当,时，才有,对任意非零,，恒有,当且仅当,8,正半定性,例如：,负半定性,例如：,不定性,可为正值也可为负值，则,为不定。,如果无论取多么小的零点的某个邻域，,时，有,当,时，有,当,时，有,当,时，有,当,9,Sylvester准则,正定的充要条件是P的顺序主子行列式均为正；,负定的充要条件是P的顺序主子行列式负正相间。,10,3-2李亚普诺夫意义下的稳定性,基本概念,平衡状态：,如果对于所有的t总存在着,则称为系统的平衡状态。,，若A非奇异，则原点是系统唯一,对线性定常系统,的平衡状态，若A为奇异的,则系统有无穷多平衡状态对非线性系统，可能有一个或多个平和状态,任何孤立平衡点,都可通过坐标变换,将其移动到坐标原点,11,称为向量的欧氏范数,稳定与一致稳定,欧氏范数,12,几点说明,13,渐近稳定与一致渐近稳定,14,大范围渐近稳定,15,1.由大范围渐近稳定的定义可知，可任意选取初始点，系统都是渐近稳定的。即不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性；2.对于大范围渐近稳定的系统，其必要条件是整个状态空间中，只存在一个平衡状态；3.对于线性系统，若是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。,几点说明,16,不稳定,17,3-3李亚普诺夫稳定性定理,相关分析方法古典控制论（劳斯判据）不能处理非线性、时变系统李亚普诺夫第一法（间接法、近似线性化法）能解决部分弱非线性系统的稳定性判定问题难以处理强非线性系统的稳定性问题,而且不易推广到时变系统李亚普诺夫第二法（直接法）对所有动态系统的状态方程的稳定性分析都适用李雅普诺夫稳定性定理是该方法的重要组成部分李雅普诺夫稳定性定理的直观意义平衡态能量最小。若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其能量将随着时间推移而衰减，最终到达能量最小的平衡态。反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能量,其储存的能量将越来越大。,若能找出一个广义能量函数,通过考察该函数随时间推移是否衰减,就可判断系统稳定性,18,19,20,21,定理中