平面向量的数量积和运算律PPT课件

5.3平面向量的数量积和运算律,高效梳理,平面向量的数量积,与平面向量的数量积有关的结论已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).,向量的数量积与数的乘法的区别两向量的数量积是两向量之间的一种乘法,与数的乘法是有区别的.(1)两个向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值决定.(2)当a0时,由ab=0不能推出b一定是零向量.这是因为对任一与a垂直的非零向量b,都有ab=0.,(3)ab=bca=c.(4)一般地,a(bc)(ab)c.这是由于bc和ab都是实数,而a与c不一定共线.(5)对于实数ab,有|ab|=|a|b|,但对于向量ab,有|ab|a|b|.,利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法(1)|a|2=a2=aa;(2)|ab|2=(ab)2=a22ab+b2;(3)若a=(x,y),则|a|=.,两个向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则AOB称作向量a与向量b的夹角,记作.(2)范围:向量夹角的范围是0,且=.,考点自测,1.下列四个命题中真命题的个数为()若ab=0,则ab;若ab=bc且b0,则a=c;(ab)c=a(bc);(ab)2=a2b2.A.4B.2C.0D.3,解析:ab=0时,ab或a=0或b=0.故命题错.ab=bc,b(a-c)=0,又b0,a=c或b(a-c),故命题错误.ab与bc都是实数,故(ab)c是与c共线的向量,a(bc)是与a共线的向量,(ab)c不一定与a(bc)相等.故命题不正确.(ab)2=(|a|b|cos)2=|a|2|b|2cos2|a|2|b|2=a2b2,故命题不正确.,答案:C,2.若a与b-c都是非零向量,则“ab=ac”是“a(b-c)”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,答案:C,答案:C,4.已知|a|=1,|b|=,且a(a-b),则向量a与b的夹角是_.,5.已知i,j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+j,且为锐角,则实数的取值范围是_.,题型突破,题型一tixingyi利用数量积求向量的夹角,规律方法:本题也可用坐标法表示同量,或利用加法的几何意义解答.,创新预测1已知ab都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.,解析:由已知:(a+3b)(7a-5b)=0,(a-4b)(7a-2b)=0.即7a2+16ab-15b2=0,7a2-30ab+8b2=0,两式相减,得2ab=b2.,题型二tixinger利用数量积求向量的模【例2】已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120.(1)计算:|a+b|;|4a-2b|.(2)当k为何值时,(a+2b)(ka-b)?,规律方法:(1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法:|a|2=a2=aa;|ab|2=a22ab+b2;若a=(x,y),则|a|=.(2)对于非零向量a,b,abab=0是非常重要的性质,它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效,应熟练掌握,若两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0.,创新预测2已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|;(3)若=a,=b,求ABC的面积.,题型三tixingsan利用数量积求解垂直问题【例3】在ABC中,=(2,3),=(1,k),且ABC的一个角为直角,求k的值.,规律方法:三角形一内角为直角,不能确定哪个角为直角,因此要分三种情况分别来解,在求解的过程中,要弄清直角应为哪两个向量的夹角，然后求这个向量的坐标.,题型四tixingsi平面向量的数量积与三角函数的交汇【例4】已知ABC的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C(3cos,3sin).(1)若(-,0)且|=|,求角的值;(2)若=0,求,规律方法:向量与三角函数相结合是高考命题的热点,解题的基本思路是,根据向量的基本运算对条件进行转化,然后通过三角诱导公式或和差公式对式子进行化简,再求值或研究其性质.,创新预测4已知向量m=(2sinx,cosx),n=(cosx,2cosx),定义函数f(x)=loga(mn-1)(a0,a1).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)确定函数f(x)的单调递增区间.,对接高考,1.(2008宁夏)已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),a+b与a垂直,则=()A.-1B.1C.-2D.2,解析:a+b=(+4,-3-2).a+b与a垂直,(a+b)a=10+10=0.=-1.,答案:A,答案:D,答案:A,方法二:本题如果采用建立直角坐标系,运用向量数量积的坐标运算较为简单,建立如图所示的直角坐标系,根据题设条件即可知A(0,3),B(-,0),M(0,2),答案:-2,高效作业,一选择题,1.(2009福建)设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,ac,|a|=|c|,|bc|的值一定等于()A.以a,b为邻边的平行四边形的面积B.以b,c为邻边的平行四边形的面积C.以a,b为两边的三角形的面积D.以b,c为两边的三角形的面积,答案:A,解析:设=,(0,),=,=-.以a,b为邻边的平行四边形面积为|a|b|sin,而|bc|=|b|c|cos(-)|=|b|c|sin,又|a|=|c|,|bc|=|a|b|sin.,2.(2009全国)设非零向量abc满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则=()A.150B.120C.60D.30,答案:B,解析:如图所示.|a|=|b|=|c|,OAB是正三角形.=120.,3.(2009辽宁)平面向量a与b的夹角为60,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于()A.B.2C.4D.2,答案:B,答案:A,5.(2009福建福州三中模拟)已知点O为ABC所在平面内一点,且则O一定为ABC的()A.外心B.内心C.垂心D.重心,答案:C,答案:B,二填空题,7.(2009上海十校联考)已知平面上直线l的方向向量d=(3,-4),点O(0,0)和A(4,-2)在l上的射影分别是O1和A1,则|O1A1|=_.,答案:4,答案:0,9.(2009福建龙岩质检)设向量a,b满足|a-b|=2,|a|=2,且a-b与a的夹角为,则|b|=_.,答案:2,三解答题,10.(2009山东日照3月模拟)若a,b是两个不共线的非零向量,tR.(1)若a,b起点相同,t为何值时,a,tb,(a+b)三向量的终点在一直线上?(2)若|a|=|b|且a与b夹角为60,t为何值时,|a-tb|的值最小?,11.(2009江苏)设向量a=(4cos,sin),b=(sin,4cos),c=(cos,-4sin).(1)若a与b-2c垂直,求tan(+)的值;(