Lebesgue可测集浅谈

Lebesgue可测集浅谈摘要本次大作业着重研究Lebesgue外侧度，Lebesgue可测集的定义、性质，以及个人对Lebesgue测度的一些浅显的理解。关键字Lebesgue外侧度，Lebesgue可测集，Lebesgue测度。一、 定义。1.1 Lebesgue 外测度对于每一个实数子集E，定义 m*(E) =infnIn：Inn1是一列开区间并且E属于n1In此时我们称m*（E）为E的Lebesgue外测度，由于全体实数R是一个开区间并且E是R的子集，所以上述定义是合理的，并且 m*（E）是一个非负广义实数。1.2 Lebesgue 可测集对于每一个实数子集E，若对于任何实数子集A有 m*（A） m*（AE）+m*（AEC）则称E为Lebesgue可测集，或简称为可测集，用 表示所有可测集。1.3 Lebesgue 测度对于每一E，记m (E)= m*（E）,m (E)称为可测集E的Lebesgue测度，或简称为测度。二、性质。2.1 Lebesgue 外测度定理2.1.1（非负性）对于任一实数子集E，m*（E）0。定理2.1.2（单增性）若E1，E2，则m*E1m*E2。定理2.1.3 若I是一个区间，则m*I=lI。定理2.1.4（次可加性）若：Enn1 是任意一列实数子集，则 m*（nEn）n m*（En）。2.2 Lebesgue可测集与Lebesgue测度定理2.2.1为使实数子集E可测，充要条件是对任何A有 m*（A）= m*（AE）+m*（AEC）。定理2.2.2 若 m*（E）=0，则E是可测集，并且m (E)=0。任意可数的实数集合是可测集且外侧度为0。证明:此时对任何的实数子集A，由外测度的单增性可知 0m*（AE）m*（E）=0，又m*（AEC）m*（A），则m*（A） m*（AE）+m*（AEC）所以E为可测集，m E=m*（E）=0。定理2.2.3 若E 是区间，则E，并且 m (E) = l（E），l（E）为E的区间长度。引理2.2.1 若E1，E2，那么E1E2也是可测集。引理2.2.2若Enn1是一列两两不相交的可测集，则nEn为可测集。定理2.2.4 （i） 可测集的补集是可测集； （ii） 至多可数个可测集的并集和交集都是可测集。推论R中的开集和闭集都是可测集。定理2.2.5 （可数可加性） 若Enn1是一列两两不相交的可测集，则 m (nEn) =m (En) 定理2.2.6 当可测集列Enn1满足下列两个条件之一时有： limnm (En)= m(limnEn),（i）En单增；（ii）En单减并且m（E1）0，有包含E的开集G使得m*（G/E）0，有包含于E的开集F使得m*（F/E）0，存在可测集F和G，使得E是F的子集，G是E的子集并且m（G/F）。（3） 存在包含E的G集G，使得m*（G/E）=0。（4） 存在包含于E的F集F，使得m*（E/F）=0。定理2.2.9设E是可测集且m（E）0，存在有限个端点为有理数的开区间Ik，1kn，使得m（EG），其中G=k=1Ik。由习题得出的一些结论：（1）若A，B都可测，A是B的子集，那么B/A也是可测集，且若m（A）, m（B/A）= m（B ） - m（A）。（2）若A，B是R的子集，并且其中之一可测，那么 m（A）+m（B ）= m（AB ）+m（AB ）。（3）设A，B是R的子集， AB可测，并且m（AB ）=m*（A）+m*（B），那么 A和B都是可测集。二、 对Lebesgue 测度的理解首先，测度是通常区间的长度、长方形的面积、长方体的体积等的推广。实数的子集有很多，其中的一些可以具有“长度”这种性质，比如（1,2）、(2,3,但是如0,1上的有理数或是无理数集合他们的长度则不能明显地得出。为此测度的作用就出来了。可测集与开集和闭集差不多，所以可测集可以通过开集与闭集的逼近而得到。Lebesgue 测度是度量一个集合中元素个数的度量工具，特别是对不可数集进行度量，就像是串糖葫芦，将元素一个一个串起来，从而对其长度进行测量。若将集合E比作图形，那么区间就像是容易求出面积的规则图形。Lebesgue外测度就好比是用规则图形区逼近求的不规则图形的面积，就像是将不规则图形分割，再用规则图形从外面套住分割后的不规则图形，求这些规则图形的面积。在进行无穷多次分割后，这些规则图形面积就无限的趋向原不规则图形面积。开区间列Inn1就像是那些套住了“不规则图形”的“规则图形”全体。令套住了集合E这个“不规则图形”。nl(In)就像是求规则图形面积和。Inf就仿佛将其和无穷逼近了E的“面积”即Lebesgue 测度若E可测的话。但是测度和求面积还是不同的，将E比作图形的话，任何图形总是有面积，但是集合却存在不可测集E。由定义，易得测度就是可测集的外侧度。Lebesgue 测度能对更多的集即可测集给