矩阵特征值的运算性质及推广

矩阵特征值的运算特性及推广选择：篇论文，主要从5个方面进行说明：简介；矩阵特征值的特征；矩阵特征值的应用和推广；块矩阵的性质；推广块矩阵特征值应用。本文以矩阵特征值特性的应用为主题，首先总结了矩阵的一些基本概念和矩阵基本运算，然后在本文中强调了矩阵特征值特性，列出并证明了罗相关的辅助定理，并通过五类矩阵特征值应用实例推广了矩阵特征值的运算特性。将矩阵扩展到块矩阵，讨论块矩阵的性质和应用。关键字：矩阵、特征值、特征向量、特征方程、特征多项式the operation properties and promotion of eigen value崔海阳。(计算机科学研究所，math)abstract three aspects to this thesis to explain : introduction；Matrix eigenvalue naturepromote the application of matrix eigen values。because of this paper is a matrix eigen value to the application of the nature of the theme first introducted some basic concepts of matrix and the matriKey words: matrix、eigenvalue、eigenvectors、characteristic equation、Characteristic polynomial1引文矩阵计算领域不断发展和成熟，作为数学领域，是许多理工科学科的重要数学工具，矩阵理论是古典数学的基本学科，也是数学的重要和仍然很活跃的领域，作为计算机科学和工程计算的核心，成为现代科学技术领域处理大量有限维空间形式和数量关系的有力工具。计算机科学和工程问题很多都可以转换成矩阵应用的计算和解决方案，特别是计算机的普及，为矩阵理论应用领域打开了广阔的前景。随着科学技术的快速发展，经典线性代数的知识不能满足现代科学技术的要求，矩阵理论和方法成为现代科学技术的必备工具。半个多世纪以来计算机在自然科学和工程技术的各个领域得到了广泛的应用矩阵理论的重要性越来越大这是因为使用矩阵理论和方法解决现代工程技术中的各种问题，不仅简单的表达，更容易进行研究，更适合计算机处理的特性，电子计算机和计算技术的快速发展为矩阵理论的应用打开了更广阔的前景。矩阵理论在数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子工程、网络等领域和矩阵理论，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学领域都有非常重要的应用。目前，高等教育机关、矩阵理论(或称为矩阵分析、矩阵理论、矩阵方法等)已经列为工科研究生的必修课。但是在本科生的情况下，一般只作为选修课(而且少数大学分类为必修课)，学生们学习矩阵理论知识和方法非常有限，不能适应现代科学技术的快速发展。本主题介绍了矩阵理论和计算方法中一些具有重要应用的特殊矩阵乘法运算，深入讨论了矩阵特征值的研究意义和矩阵特征值的应用。矩阵特征值的特征及其应用2.1矩阵特征值的特征如果将关系设置为阶方阵，例如数字和维度非零的列向量，则数字称为正方形的特征值，并称为对应的特征向量。性质多项式，称为性质方程式5。性质16设定为的唯一值，即度数方形。.性质26正方形的可逆特征值不是0。性质36设定为正方形的唯一值，而的多项式是的唯一值。性质46不是正方形的特征值。性质56(加莱-哈密尔顿定理)阶导数方阵的性质多项式如下而且，是的。属性66将主正方形的特征值设置为，并且对应的线性独立固有向量，记忆性质76设定为阶实际对称阵列，并且是唯一值。(1)只有大于0时的正定；(2)仅在小于零的情况下设置负值；(3)并非总是负数，但至少有一个为0时为正semidefinite。(4)并不总是正数，但至少有一个等于0时，这是半负数。(5)存在正负两种情况时，不确定。2.2矩阵特征值的应用2.2.1正方形的决定因素和多项式的决定因素7。示例1第三次矩阵的特征值为1，-1，2，设置，请求：；。解决方案： 可用于特性1；特征3已知的特征值为，因此。特征多项式，命令而且，因此：示例2设置为特征值。因为解决方案：是唯一值.2.2.2正方形矩阵和可逆性判断7。例3在问为什么值的时候可以反转。解决方案：因为，因此，特征4可以知道的三个特征值，当时的可逆性。例4证明了矩阵满足是可逆的。证明：设置，原因，即，而且，只有，所以，3，不是唯一的值，所以可以逆。2.2.3方形矩阵、逆矩阵和二次幂7。例5套，追求；。解决方案：，因为性格5，所以非零特征值为特征2，知道可逆性，所以是啊，是啊注意：使用此方法，可以使用小于3的多项式简化计算。示例6设置三次正方形的特征值，如下所示：其固有向量是。求(大于1的整数)。解决方案：线性独立，记忆，特性6所以所以当偶数的时候，奇数的时候，注：此方法仅在可以对角化的情况下可用。示例7表示第三阶实际对称数组的特征值为6，3，3，3，且特征值为6的特征向量。解决方案：将等于3的唯一矢量设置为。本征向量互垂于实际对称阵列的不同本征值。也就是说，组件满意。由于特征值3的权重为2，因此正好有两个线性独立特征向量与3对应。显然，基本解是两个线性独立特征矢量，相当于3。其中一个基本解决方案。按顺序，性格6。所以。2.2.求4方阵的多项式7。范例8组，计算。解决方案：而且，很明显。从性格5就可以知道了。.2.2.5实对称阵的正性质判断例9阶实际对称矩阵正定设置，矩阵存在，也是正定矩阵。证明由于：实对称阵，存在正交矩阵。而且，其中是的唯一值。因为数量的限制。所以有顺序，所以也就是说，因为由特性7确定正方向，所以类似对角数组的矩阵的特征值相同，所以是的特征值。矩阵特征值的推广3.1块矩阵的性质在高等代数中，矩阵的特征值问题是非常重要的内容，特征值在线性变换研究中具有基本的重要性。并且我们在寻找高阶和复杂的矩阵特征值时，经常使用矩阵分解，可以更简洁地解决问题。下面是对矩阵特征值问题应用块的简单讨论。一般矩阵的基本转换等于矩阵的左边(或右边)乘以基本矩阵。同样，将广义基本矩阵的左边(或右边)乘以块矩阵就像执行块矩阵的广义行(或列)基本变换一样，矩阵的一些广义基本变换没有排名变化。性质1设定为矩阵，证明的性质多项式为的性质多项式和：11:分析我们先重写上面的样式。因为都是抽象矩阵，我们不能直接计算它，但它是两个决定因素的值，我们可以构造两个矩阵，把它们的决定因素加起来，所以我们构造了一个分割矩阵，产生了决定因素，我们可以做基本变换，即左乘广义基本块矩阵求常识的决定因素，得到：(1)同样，右侧乘以矩阵两边取决定因素，得到：(2)(1)和(2)命题证明的顺序如果参数1设置为矩阵，幂等矩阵的充分必要条件是阶幂等矩阵，表示的秩。辅助2幂等矩阵类似于或。性质2设定为度数。在这种情况下，唯一值为1或0，1的数目等于该排名。分析：由于给定矩阵不具体，所以我们考虑使用块矩阵基本变换来解决这个问题。12: (1)的可逆证明时，即，因，已知，辅助1，所以幂等矩阵，辅助2，和具有相同的特征值，因此特征值为1或0，特征值为1的数目等于相应的排名。(2)当时的结论很明确。(3)设定非零不可逆矩阵。因此存在可逆矩阵。在这里，所以这样，(1)的证明表明存在可逆矩阵。设定因为所以设定同一本书，所以结果(因为上述矩阵的排名)而且，和所以有总而言之，对，结论都成立。在上面的讨论中，我们可以看到，给定矩阵中的一些不具体，如果想计算或证明对它的特征值问题，通常使用块矩阵简化解决过程。当然，应用块矩阵不仅可以解决特征值问题，还可以解决一些矩阵的反函数或计算矩阵等问题。此处不进行说明。参考文献1雷吉刚、唐平、全州矩阵理论及其应用m。北京：机械工程出版社。20052程云鹏。矩阵理论m。西北：工业大学出版社3 Shi Rongchang。矩阵分析m。北京：北京理工大学出版社。2004汤凤香，防水男。矩阵Khatri-Rao积的推进j。黑龙江：贾木斯大学学报(自然科学版)。2007杨忠鹏，冯小霞。矩阵特殊产品之间的关系J。西安：莆田大学学报6戴华。矩阵理论m。北京：科学出版社。20017方宝勇、周继东等。矩阵理论m。北京：清华大学出版社。20048水陆材，河水宝，张若辉。矩阵理论m。北京：科学出版社。20069曾穆等。遗传应用数学(第6卷)m。东营：石油大学出版社。199710bell man r . introduction to matrix analysism。the rand corporation，1970年11 horn r a，Johnson c R. matrix analysis m。Cambridge university press，1985年12王萼锥子，石生。高等代数m。北京：高等教育出版社。200313金达莱、范晓涛、冯思信。特殊矩阵Kronecker出图j。四川：师范大学学报。200914雪杖。矩阵的Hadamard产品j。江苏：盐成功学院学报(自然科学版)。2009表示谢意时间如流水，匆匆，转眼是大学毕业季，春梦秋云容易聚集。退学日期临近了，毕业论文的完成度接近尾声。从作业开始到完成论文一直是老师、同学、朋友送的温暖的帮助，请在这里接受我衷心的感谢！这篇学位论文是在我的导师李玉智的亲切关怀和细心指导下完成的。他严肃的科学态度、严谨的学术精神、精益求精的作风深深地感染了我，鼓舞了我。李老师从作业的选择