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文档简介

1.3常见特殊矩阵,上三角矩阵初等变换矩阵对称矩阵正交矩阵内积空间,我们尽量采用如下记号：,用大写英文字母表示矩阵，如A,B,用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素，如a11,b2n,用小写英文字母表示向量，如x,y,z,用小写希腊字母表示标量，如a,b,l,m,1.上三角矩阵,In表示n阶单位矩阵(identitymatrixofordern)；,ei表示In的第i列；,对角矩阵(diagonalmatrix)：A=diag(a11,a22,ann),上三角矩阵(uppertriangularmatrix),下三角矩阵(lowertriangularmatrix),上(下)三角矩阵的特征值就是对角元；,上(下)三角矩阵的逆矩阵仍然是上(下)三角矩阵；,分块(block)对角矩阵：A=diag(A11,A22,Akk)；,分块(block)上(下)三角矩阵；,分块上(下)三角矩阵的特征值是各对角块矩阵特征值的并集，其逆矩阵仍然是分块上(下)三角矩阵。,2.初等变换矩阵,第一类：A1=diag(1,1,a,1,1)；,第二类：A2=I+beiejT；,第三类：A3=e1,ei-1,ej,ei+1,ej-1,ei,ej+1,en；,左行右列,A1-1=diag(1,1,1/a,1,1)；,A2-1=I-beiejT；A3-1=A3。,分块形式初等变换矩阵。,例1设ACmn，BCnm，证明：AB和BA的非零特征值完全相同，而且重数也相同。此外还有det(Im+AB)=det(In+BA)。,3.对称矩阵,(a)实对称矩阵和复Hermite矩阵,设ARnn，如果满足A=AT，则称A为对称矩阵(symmetricmatrix)。记做ASRnn。,对称矩阵的特征值都是实数。,设ARnn，如果满足A=-AT，则称A为反对称矩阵(skew-symmetricmatrix)。,反对称矩阵的特征值只能是纯虚数或0。,设ACnn，如果满足A=A*，则称A为Hermite矩阵(Hermitianmatrix)；如果满足A=-A*，则称A为反Hermite矩阵(skew-Hermitianmatrix)。,(b)正定矩阵,设ASRnn，如果对任意xRn都有xTAx0，则称A为对称正定(symmetricpositivedefinite)矩阵。,对称正定矩阵的特征值都是正数。,下列条件都等价：,1.A是正定矩阵；,2.A的所有顺序主子式都大于0；,3.存在非奇异矩阵C，使得A=CCT；,把正定矩阵定义中的xTAx0改成xTAx(0，=xTAy；,在欧式空间中，称非负实数为x
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