优化设计讲稿

5 优化设计1.优化、优化设计和机械优化设计的含义优化是万物演化的自然选择和必然趋势。优化作为一种观念和意向，人类从很早开始就一直在自觉与不自觉地追求与探索。而优化作为一门学科与技术，则是一切科学与技术所追求的永恒主题，旨在从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际问题中的应用，便是优化设计。优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术。是根据最优化原理和方法，以人机配合方式或“自动探索”方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。 优化设计反映出人们对于设计规律这一客观世界认识的深化。（1）来源：优化一语来自英文Optimization，其本意是寻优的过程；（2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值（以max表示)或极小(以min表示)的过程。优化方法也称数学规划，是用科学方法和手段进行决策及确定最优解的数学； （3）优化设计：根据给定的设计要求和现有的技术条件，应用专业理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求的许多可行方案中，按照给定的目标自动地选出最优的设计方案。（4）机械优化设计 就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。 工程设计中，设计者力求寻求一种合理的设计参数，以使得由这组设计参数方法：进行最优化设计时，首先必须将实际问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的数学模型，然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上运算求解，得到一组由数学表达式组成的设计参数。这组设计参数就是设计的最优解。2.优化设计的发展概况历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世纪微积分的建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某些理论基础。然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了变分法。 直到本世纪40年代初，由于军事上的需要产生了运筹学，并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题，例如轰炸机最佳俯冲轨迹的设计等。 50年代末数学规划方法被首次用于结构最优化，并成为优化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规划是其主要内容。最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是6O年代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领域中得到应用。近十几年来，最优化设计方法已陆续用到建筑结构、化工、冶金、铁路、航天航空、造船、机床、汽车、自动控制系统、电力系统以及电机、电器等工程设计领域，并取得了显著效果。其中在机械设计方面的应用虽尚处于早期阶段，但也已经取得了丰硕的成果。一般说来，对于工程设计问题，所涉及的因素愈多，问题愈复杂，最优化设计结果所取得的效益就愈大。l 第一阶段人类智能优化：与人类史同步，直接凭借人类的直觉或逻辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。l 第二阶段数学规划方法优化：从三百多年前牛顿发明微积分算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到迅速发展。l 第三阶段工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方法学研究，尤其是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新的途径。l 第四阶段现代优化方法：如遗传算法、 模拟退火算法、 蚁群算法、 神经网络算法等，并采用专家系统技术实现寻优策略的自动选择和优化过程的自动控制，智能寻优策略迅速发展。机械优化设计应用实例美国波音飞机公司对大型机翼用138个设计变量进行结构优化，使重量减少了三分之一；大型运输舰用10个变量进行优化设计，使成本降低约10%。实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。51 优化设计的数学模型511 数学模型的建立 数学模型：是对实际问题的数学描述和概括，是进行优化设计的基础。工程设计问题通常是相当复杂的，要建立便于求解的数学模型，必须对实际问题加以适当的抽象和简化。不同的简化方法得到的数学模型和计算结果都不同。例5.1有一块边长为6m的正方形铝板，四角各裁去一个小的方块，做成一个无盖的盒子。试确定裁去的四个小方块的边长，以使做成的盒子具有最大的容积。解：设裁去的四个小方块边长为x，盒子的容积可表示成x的函数，上述问题可描述成求变量x，使函数极大化，这就是此问题的数学模型，其中x称为设计变量；称为目标函数。目标函数试设计变量的一元三次函数，且没有附加的约束条件，所以此问题属于一元非线性无约束优化设计问题。512 数学模型的一般形式 数学模型的组成：优化设计的数学模型由设计变量、目标函数和约束条件三部分组成，可写成以下统一形式： 求变量 使极小化函数 满足约束条件 不等式约束条件 等式约束条件数学模型可写成以下向量形式：向量表示设计变量，表示向量X属于n维实欧氏空间，用min、max表示极小化和极大化， ）表示“满足于”，m,p分别表示不等式约束和等式约束的个数。 （可省略） 不等式约束条件 等式约束条件分类：最优化问题也称为数学规划问题。最优化问题根据数学模型中是否包含约束条件而分为无约束优化问题和约束优化问题；根据设计变量的多少可分为单变量优化和多变量优化问题；根据目标函数和约束函数的性质可分为线性规划和非线性规划问题。 当数学模型中的目标函数和约束函数均为设计变量的线性函数时，称此设计问题为线性优化问题或线性规划问题。当目标函数和约束函数中至少有一个为非线性函数时，称此设计问题为非线性优化问题或非线性规划问题。 513 设计变量与设计空间工程问题特征参数设计方案。这种代表设计方案的特征参数一般应选作该问题优化设计的设计变量。一个工程问题的设计参数一般是相当多的，其中包括常量、独立变量和因变量三类。优化设计时，为了使建立的数学模型尽量简单易解，只能选择其中的独立变量作为设计变量。但是，一个设计问题中，独立变量和因变量的划分并不是一成不变的。设计变量选择：选择那些与目标函数和约束函数密切相关的、能够表达设计对象特征的独立参数和尺寸。同时，还要兼顾求解的精度和复杂性方面的要求。设计变量分为连续变量和离散变量，可以在实数范围内连续取值的变量称为连续变量，只能在给定数列或集合中取值的变量称为离散变量。几乎所有的优化理论和方法都是针对连续变量提出来的，而实际问题往往包含有各种各样的离散变量，对于包含离散变量的优化问题，一般先将离散变量当作连续变量，求出连续变量最优解后，在作适当的离散化处理。 由线性代数可知，若n个设计变量相互独立，则由它们形成的向量的全体集合构成一个n维实欧氏空间，称为设计空间，记作，一组设计变量可看作设计空间中的一点，称为设计点。设计变量的个数n称为设计空间的维数。 5.1.4 约束条件与可行域约束：对任何设计都有若干不同的要求和限制，将这些要求和限制表示成设计变量的函数并写成一系列不等式和等式表达式，就构成了设计的约束条件，简称约束。约束条件的作用：是对设计变量的取值加以限制。约束条件分类：根据形式分为不等式约束和等式约束，根据性质可分为边界约束和性能约束。边界约束实对设计变量本身所加的直接限制；性能约束在形式上是对某些技术性能指标或参数所加的限制，是对设计变量所加的间接限制。约束问题的可行域：每一个不等式或等式约束都将设计空间分为两个部分，满足所有约束的部分形成一个交集，该交集称为此约束问题的可行域，记作。5.1.5 目标函数与等值线要寻求设计问题的最优解就必须有判别设计方案好坏的尺度目标函数目标函数：是关于设计变量的函数，是用于衡量设计方案优劣的定量标准。对极小化问题来说，目标函数的值越小，对应的设计方案越好，目标函数的最小值及其对应的设计变量的取值称为设计问题的最优解。 要知道一个目标函数的最优点在设计空间中所处的位置，就需要了解目标函数的变化规律。对于简单的问题，等值线或等值面不仅可以直观地描绘函数的变化趋势，而且还可以直观地给出极值点的位置。 令函数，满足此式的点X在设计空间中定义了一个点集，当n=2，该点集是设计平面中的一条直线或曲线，当时，该点集是设计空间中的一个平面、曲面或超曲面。在这些线或面上所有点的函数值均相等，这些线或面就称为函数的等值线或等值面。516 优化问题的图解法对简单的二维优化问题，可以在设计平面内直观地作出约束可行域，画出目标函数的簇等值线，并且可以根据等值线与可行域的相互关系确定出最优点的位置。这种求解优化问题的方法就是图解法。图解法的步骤一般为：确定设计空间，作出约束可行域，画出目标函数的一簇等值线，最后判断确定最优点。 建立数学模型的一般过程：步骤名称说明1分析设计问题，初步建立数学模型。 即使是同一设计对象，如果设计目标和设计条件不同，数学模型也会不同。因此，要首先弄清问题的本质，明确要达到的目标和可能的条件，选用或建立适当的数学、物理、力学模型来描述问题。2抓住主要矛盾，确定设计变量。 设计变量越多，设计自由度就越大，越容易得到理想的结果。但随着设计变量的增多，问题也随之复杂。因此，应抓住主要矛盾，适当忽略次要因素，合理简化。3根据工程实际，提出约束条件。 约束条件的数目多，则可行的设计方案数目就减少，优化设计的难度增加。理论上讲，利用一个等式约束，可以消去一个设计变量，从而降低问题的阶次，但工程上往往很难做到设计变量是一定值常量，为了达到效果，总是千方百计使其接近一常量，反而使问题过于复杂化。另外，某些优化方法不支持等式约束。因此，实际上利用等式约束需很慎重，尤其结构优化设计尽量少采用等式约束。4对照设计实例，修正数学模型。 初步建立模型之后，应与设计问题加以对照，并对函数值域、数学精确度和设计性质等方面进行分析，若不能正确、精确地描述设计问题，则需用逐步逼近的方法对模型加以修正。5正确求解计算，估价方法误差。 如果数学模型的数学表达式比较复杂，无法求出精确解，则需采用近似的数值计算方法，此时应对该方法的误差情况有一个清醒的估计和评价。6进行结果分析，审查模型灵敏性。 数学模型求解后还应进行灵敏度分析，也即在优化结果的最优点处，稍稍改变某些条件，检查目标函数和约束条件的变化程度。若变化大，则说明灵敏性高，就需要重新修正数学模型。因为，工程实际中设计变量的取值不可能与理论计算结果完全一致，灵敏性高，可能对最优值产生很大影响。5.2 优化方法的数学基础 工程设计一般归结为多变量、多约束的非线性优化问题，首先对多变量约束优化问题的求解方法所涉及的数学概念及有关理论进行补充和扩展。多元函数的梯度、二阶导数矩阵和泰勒展开等基本概念，以及数值迭代解法的基本格式。5.2.1梯度函数在点的梯度是由函数在该点的各一阶偏导数组成的向量函数的梯度的性质：（1）函数在一点的梯度是一个向量。梯度的方向是该点函数值上升得最快的方向，与梯度相反的方向是该点函数值下降得最快的方向，梯度的大小就是它的模长。（2）一点的梯度方向 是与过该点的等值线或等值面的切线或切平面相垂直的方向，或说是该点等值线或等值面的法线方向。（3）梯度是函数在一点邻域内局部形态的描述。在一点上升得快的方向，离开该邻域后就不一定上升的快，甚至可能下降。5.2.2 多元函数的泰勒展开为了便于数学问题的分析和求解，需要将一个复杂的非线性函数简化成线性函数或二次函数，简化方法可以采用泰勒展开式。一元函数若在点的领域内n阶可导，则函数可在该点的领域内作泰勒展开： 为余项多元函数在点作泰勒展开，取前三项：此式称为函数的泰勒二次近似式。是有函数在点的所有二阶偏导数组成的矩阵，称为函数在点的二阶导数矩阵由于n元函数的偏导数有个，而且偏导数的值与求导次序无关，所以函数的二阶导数是一个阶对称矩阵。例5.4 用泰勒展开的方法将函数在点简化成线性函数和二次函数。解：分别求函数在点的函数值、梯度和二阶导数矩阵： =展开式的二次项： 5.2.3 二次函数二次函数是最简单的非线性函数，在最优化理论中具有重要的意义。二次函数写成向量形式：式中：B常数向量；H阶常数矩阵称为二次型，H称为二次型矩阵，相当于函数的二阶导数矩阵。矩阵有正定和负定之分，对于所有的非零向量X：（1）若有，则称矩阵H是正定的；（2）若有，则称矩阵H是半正定的；（3）若有，则称矩阵H是负定的；（4）若有，则称矩阵H是半负定的；（5）若有，则称矩阵H不正定的；上式的二次型矩阵H是正定的，则函数称正定二次函数。在最优化理论中正定二次函数具有特殊的作用，因为许多优化理论和优化方法都是根据正定二次函数提出并加以证明的，而且正定二次函数适用并有效的优化算法，对一般非线性函数也适用和有效。正定二次函数的性质：（1）正定二次函数的等直线或等值面是一簇同心椭圆或同心椭球，且椭圆簇或椭球簇的中心就是该二次函数的极小点。（2）非正定二次函数在极小点附近的等直线或等值面近似于椭圆或椭球。5.2.4 下降迭代算法工程设计问题一般可归结为多变量、多约束的非线性优化问题，这样的问题一般只能用数值迭代法求解，对于极小化问题，这种方法就是下降迭代算法下降迭代算法：按照某一迭代格式，从一个初始点.出发逐步产生一个点列，若该点列所对应的目标函数值呈下降趋势，并且该点列的极限就是目标函数的极小点，则构成此点列的方法就是优化问题的一种数值解法，称下降迭代算法。并称此点列收敛于极小点。5241 下降迭代算法的基本格式在优化算法中，一般采用如下迭代算式： (5.9)式中 搜索方向； 步长因子。（1） 给定一个初始点和收敛精度；（2） 选取一个搜索方向；（3） 确定步长因子，按式5.9得到新的迭代点；（4） 收敛判断：若满足收敛精度，则以作为最优点，终止计算；否则，以作为新的起点，转(2)进行下一轮迭代。 由此不难看出，一个下降迭代算法的构成需要解决以下三个基本问题 (1)选择搜索方向。不同的搜索方向，构成不同的下降迭代算法 (2)确定步长因子。一般通过一维搜索法取得最优步长因子 (3)给定收敛准则。用以判断迭代点是否能够作为近似的最优点。5242 算法的收敛性如前所述，当迭代算法产生的点列满足式(58)时，称该点列收敛于极小点，即称此下降迭代算法具有收敛性。点列向极小点逼近的速度称该算法的收敛速度。作为一种优化算法必须具有较好的收敛性和较快的收敛速度。没有收敛性的算法在理论上是不能成立的，而收敛速度较慢的算法对于实际应用来说也是没有意义的。53 一维搜索法是优化方法中最基本、最常用的方法。所谓搜索，就是一步一步的查寻，直至函数的近似极值点处。其基本原理是区间消去法原则，即把搜索区间a, b分成3段或2段，通过判断弃除非极小段，从而使区间逐步缩小，直至达到要求精度为止，取最后区间中的某点作为近似极小点。概念：在优化设计的迭代运算中，在搜索方向上寻求最优步长的方法称一维搜索法。其实，一位搜索法就是一元函数极小化的数值迭代算法，其求解过程称一维搜索。从点出发，在方向上的一维搜索的数学表达式： 此式表示对包含唯一变量的一元函数求极小值，得到最优补偿因子和方向上唯一的极小点方法：一维搜索的数值解法可分两步进行。首先在方向上确定个包含极小点的初始区间，然后缩小区间或插值逼近的方法逐步得到最优步长和维极小点。531 确定初始区间的进退法理论：在函数的任一单谷区间上必存在一个极小点，而且在极小点的左侧，函数呈下降趋势，在极小点的右侧，函数呈上升趋势。若方向上的三点 及其函数值，和，可通过比较三个函数值的大小估计出极小点所在的位置。（1） 若，则极小点位于右端点的右侧；（2） 若，则极小点位于左端点的左侧；（3） 若，则极小点位于和之间，就是一个包含极小点的区间。可见，在某一方向上按一定方式逐次产生一些探测点，并比较这些探测点上函数值的大小，找出函数值呈“大小大”变化的三个相邻点，其中两个端点所确定的闭区间必定包含着极小点，这样的区间称初始区间，记作，这种寻找初始区间的方法称进退法。方法：这种寻找初始区间的方法称进退法，其具体探测步骤如下： (1)给定初始点，初始步长，； (2)产生新的探测点，； (3)比较函数值和的大小，确定向前或向后探测的策略。 若，则加大步长人，令，转(4)向前探测；若，则调转方向，令，转(4)向后探测。(4)产生新的探测点，令；(5)比较函数值和的大小；若，则初始区间已经得到，令，当时，当时，若，则继续加大步长，令，转(4)向前探测。532 黄金分割法黄金分割法是采用黄金分割点（0.618）不断缩小区间得到极小点的一维搜索算法。缩小区间采用序列消去法：在已知区间，任选两个中间插入点和（），比较两点的函数值：若，则根据单谷区间的性质，极小点必在a和之间，于是消去区间，得到包含极小点的区间；若，则极小点必位于和b之间，消去区间，得到包含极小点的区间。不断重复上述过程，将包含极小点的区间逐渐缩小，当区间长度b-a小于给定精度时，将区间内的一点作为该方向上的极小点。不同的中间插入点产生不同的一维搜索算法，黄金分割法是其中常用的算法。设区间内插入点和：，若缩小一次后的新区间为，由于新旧区间内中间插入点应具有相同的位置关系，原区间内的点和新区间内的点实际上是同一个点：，解得：代入上式得：，黄金分割法以区间长度是否充分小作为收敛准则，并以收敛区间的中点作为一维搜索的极小点，即当时，取黄金分割法每次区间缩小的比率是完全相等的。如果将新区间的长度和原区间的长度之比称作区间缩小率，则黄金分割法的区间缩小率等于常数0.618。如果给定收敛精度，初始区间长度b-a，则完成一维搜索所需缩小区间的次数n可以由下式求出：综上所述，黄金分割法的计算步骤如(p165-166)：（1）给定初始区间和收敛精度（2）产生中间插入点并计算其函数值： （3）比较函数值和，确定区间的取舍：若，则新区间=，令，记若，则新区间，令，记（4）收敛判断：若区间的长度足够小，即满足，则将区间中点作为一维极小点，即令，结束一维搜索，否则转（5）。（5）产生新的插入点：若，则取；若，则取，转（3）进行新的区间缩写。例5.5用黄金分割法求函数的极小点，给定。解：（1）确定初始区间： 由于，应加大步长继续向前探测。令由于，初始区间找到，即。（2）用黄金分割法缩小区间第一次缩小区间： 由于，故新区间。因为，所以应继续缩小空间。第二次缩小区间。令 由于，故新区间，因为，所以应继续缩小区间。第三次缩小区间。令由于，故新区间，因为，所以应继续缩小区间。第四次缩小区间。令由于，故新区间。因为，所以应继续缩小区间。第五次缩小区间。令由于，故新区间，所以得到极小点和极小值533 二次插值法二次插值法又称抛物线法，它是以目标函数的二次插值函数的极小点作为新的中间插入点，进行区间缩小的一维搜索算法。在确定初始区间时得到相邻的三个点及其对应的函数值，记。在fox坐标平面内，过、和三点可