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文档简介

,詹森不等式的证明及应用,指导老师：XXX姓名：XXX学号：XXX专业：数学与应用数学,XXX数学系XXX级学位论文答辩,立题背景及意义,詹森不等式是数学中的重要理论之一，是解决不等式问题的重要方法，是发现数学问题的重要手段。詹森不等式概念是数学中重要的不等式。由于数学中的许多重要不等式都是通过在詹森不等式证明的，因此掌握詹森不等式的理论及证明方法对学习数学许多不等式证明起到很重要的作用。本题主要通过探讨詹森不等式概念及证明方法且把每一种方法的特点来说明改变条件对证明的影响，通过具体的例子给出詹森不等式在证明中的重要性，并给出在信息论中的应用。,詹森不等式的证明,方法一:用数学归纳法证詹森不等式是凸函数的一个推广，从两个推广到了n个，而数学归纳法是对这种含n个项的普遍方法。证明中初始条件明显，做出归纳假设，在证不等式对n成立时，先应用初始条件，再应用归纳假设。注意引入变量，在化简是很关键。,詹森不等式的证明,方法二：用泰勒展开式证这种方法比第一种要求条件高，在前一个的条件下，还要求二阶可导并且导数大于零，为了是能满足泰勒展开的条件。先设出定义域上的一点，再在这点进行泰勒展开，利用已知条件，化简和代换可以得到结论。关键选取泰勒展开点。,应用1：利用詹森不等式证明其它几个常见且极其重要的不等式,例1：对任意实数,有,例2：证明不等式,其中均,为正数。,詹森不等式的应用,例4：利用Jensen不等式证明均值不等式,例5：利用Jensen不等式证明Hlder不等式以及柯西不等式。,Hlder不等式,柯西不等式,应用2：利用詹森不等式推广几个数学问题,詹森不等式的应用,问题1：,问题2：,应用3：利用詹森不等式在信息论中的应用,詹森不等式的应用,设K是维欧氏空间凸域，并设有随机矢量，若随机矢量的数学期望存在，而且是凸域K内的型凸函数，则有,再用数学归纳法类似证明詹森不等式的证明方式证明。,比较各种方法在证明不等式的应用，比较各种方法的特点。,参考文献,在此论文完成之际，我要特别感谢我的导师XXX老师，正是他的精心指导和悉心关怀，我的论文才得以顺利完成。他深厚的专业知识、宽广的知识面、严谨求实的治学态度、一丝不苟的工作作风一直是我学习中的榜
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