选修4-2 3变换的不变量与矩阵的特征向量.ppt

第三节变换的不变量与矩阵的特征向量,1.矩阵的特征值与特征向量的定义对于矩阵实数及非零向量，,特征值,特征向量,2.特征向量的性质(1)设是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对于任意的非零常数k，_也是矩阵A的属于特征值的特征向量.(2)属于矩阵的不同特征值的特征向量_.(3)求矩阵的特征值、特征向量的步骤：第一步：列特征多项式f()=_.第二步：求f()=0的根，即特征值.第三步：针对不同的特征值，解相应的线性方程组，得一个非零解，即特征向量.,不共线,3.特征向量的应用(1)设A是一个二阶矩阵，是矩阵A的属于特征值的任意一个特征向量，则_(nN*)(2)性质1：设1，2是二阶矩阵A的两个不同特征值是矩阵A的分别属于特征值1，2的特征向量，对于任意的非零平面向量，设(其中t1,t2为实数),则对任意的正整数n，有_.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)任意向量都可以作为特征向量.()(2)矩阵A的属于特征值的特征向量是唯一的.()(3)每一个二阶矩阵都有特征值及特征向量.()(4)矩阵A的属于特征值的特征向量共线.()(5)矩阵A的特征向量分别为任意非零向量均可以用表示.(),【解析】(1)错误，特征向量必须是非零向量.(2)错误，矩阵A的属于特征值的特征向量有无数个.(3)错误，如矩阵就没有特征值，也就没有特征向量.(4)正确，若是矩阵A的特征向量，则都是矩阵A的特征向量，显然是共线向量.(5)正确，都可以表示为(其中t1，t2为实数)的形式.答案:(1)(2)(3)(4)(5),考向1矩阵特征值、特征向量的求法【典例1】(2012江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A-1=求矩阵A的特征值【思路点拨】首先求出矩阵A，再按照求矩阵特征值的步骤求矩阵A的特征值.,【规范解答】A-1A=E2，A=(A-1)-1.矩阵A的特征多项式为令f()=0，解得矩阵A的特征值1=-1,2=4.,【互动探究】本例中条件不变，试求矩阵A的属于每个特征值的一个特征向量.【解析】对于特征值1=-1，解相应的线性方程组是矩阵A的属于特征值1=-1的一个特征向量；,对于特征值2=4，解相应的线性方程组是矩阵A的属于特征值2=4的一个特征向量.,【拓展提升】求矩阵特征值、特征向量的四个注意点(1)求矩阵的特征值与特征向量可按照相应的步骤进行.(2)特征值与特征向量相对应,属于不同特征值的特征向量一般不共线.(3)将特征值代入后得到的方程组若某一变量缺失,实质其系数为0,该变量可任意取值.(4)求出特征值是唯一的，而特征向量是不唯一的，但属于同一特征值的特征向量都应该是共线向量.,【变式备选】设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标保持不变的伸缩变换(1)求矩阵M.(2)求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量【解析】(1)由条件得矩阵(2)因为矩阵的特征多项式为令f()=0，解得特征值为1=1，2=2，,设属于特征值1的矩阵M的一个特征向量为e1=则由线性方程-y=0，得同理，对于特征值2，得一个特征向量为所以是矩阵M属于特征值1=1的一个特征向量，是矩阵M属于特征值2=2的一个特征向量,考向2矩阵的特征值、特征向量的应用【典例2】已知矩阵A的一个特征值=2，属于的特征向量是(1)求矩阵A.(2)求直线y=2x在矩阵A所对应的线性变换下的像的方程.【思路点拨】利用特征值、特征向量的定义式列出关于a,b的关系式，即可求出a,b，即得矩阵A，再利用图形变换的坐标变换公式，求变换后的方程.,【规范解答】(1)由题意解得a=2,b=4，所以(2)代入到直线y=2x中得7x=5y,故变换后的方程是7x-5y=0.,【拓展提升】利用特征值、特征向量求矩阵的关注点(1)利用特征值、特征向量求矩阵用待定系数法，列相应关系的依据是特征值、特征向量的定义.(2)在解题的过程中，还是要注意相关方程组的准确求解.(3)此类问题往往与图形变换等知识综合考查.,【变式训练】(2013福建高考)已知直线l：ax+y=1在矩阵A=对应的变换作用下变为直线l：x+by=1.(1)求实数a,b的值.(2)若点P(x0,y0)在直线l上，且求点P的坐标.【解析】(1)设直线l：ax+y=1上任意一点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M(x,y)由得,又点M(x,y)在l上，所以x+by=1，即x+(b+2)y=1，依题意解得(2)由得解得y0=0.又点P(x0,y0)在直线l上，所以x0=1.故点P的坐标为(1,0).,考向3的简单表示【典例3】已知矩阵的一个特征值为1.(1)求矩阵M的另一个特征值.(2)设【思路点拨】(1)列出矩阵M的特征多项式f()，利用1是f()=0的根求a及另一个特征值.(2)将向量表示为的形式，再利用公式,【规范解答】(1)矩阵M的特征多项式又矩阵M的一个特征值为1，f(1)=0，a=0，由f()=(-3)+2=0，得1=1,2=2，所以矩阵M的另一个特征值为2.,(2)矩阵M的一个特征值为1=1，对应的一个特征向量为另一个特征值为2=2，对应的一个特征向量为,【拓展提升】表示的三个步骤第一步：求出矩阵A的特征值1,2，对应的特征向量第二步：设利用向量相