2012年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)_第1页
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2012年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一选择题1已知a1，b，c，那么a，b，c的大小关系是 ( )(A) abc (B) acb (C) bac (D) bca 2. 方程x22xy3y234的整数解(x,y)的组数为 ( )(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 63. 已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 ( )(A) (B) (C) (D) 4. 已知实数a，b满足a2b21，则a4abb4的最小值为 ( )(A) - (B) 0 (C) 1 (D) 5. 若方程x22px3p20的两个不相等的实数根x1，x2满足x12x134(x22x23)，则实数p的所有可能的值之和为 ( ) (A) 0 (B) - (C) -1 (D) - 6. 由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足acbd这样的四位数共有( )(A) 36个 (B)40个 (C)44个 (D) 48个二填空题1. 已知互不相等的实数a，b，c满足abct，则t_2. 使得52m1是完全平方数的整数m的个数为_3.在ABC中，已知ABAC，A40，P为AB上一点，ACP20，则_4.已知实数a，b，c满足abc-1，abc4，则a2b2c2_第二试一、已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.二、如图，PA为O的切线，PBC为O的割线，ADOP于点D.证明：AD2BDCDOPABCD三、已知抛物线y- x2bxc的顶点为P，与x轴的正半轴交于A(x1,0)、B(x2,0) 两点 (x1x2)，与y轴交于点C，PA是ABC的外接圆的切线.设M(0, - )，若AMBC，求抛物线的解析式. 参考答案一选择题1.C 2.B 3.D 4.B 5.B 6.C 二填空题1. 1 2. 1 3. 4. 第二试一、解 设直角三角形的三边长分别为a，b，c（），则.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因为为整数，所以. 根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以，因为均为整数且，所以只可能是解得所以，直角三角形的斜边长，三角形的外接圆的面积为. 二、证明：连接OA，OB，OC. OAAP，ADOP，由射影定理可得，. 又由切割线定理可得，D、B、C、O四点共圆，PDBPCOOBCODC，PBDCOD，PBDCOD，OPABCD，. 三、解 易求得点P，点C.设ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为.显然，是一元二次方程的两根，所以，又AB的中点E的坐标为，所以AE.因为PA为D的切线，所以PAAD，又AEPD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得. 又由DA
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