2013年全国各地高考试题分类导数部分

2013年全国各地高考试题分类汇编(导数)1(2013广东.理)（14分）设函数(其中).() 当时,求函数的单调区间；() 当时,求函数在上的最大值.【解析】() 当时, , 令,得, 当变化时,的变化如下表:极大值极小值 右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,. (),令,得,令,则,所以在上递增,所以,从而,所以所以当时,；当时,；所以令,则,令,则所以在上递减,而所以存在使得,且当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减.因为,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.综上,函数在上的最大值.2（本小题满分14分）(2013广东文)设函数 (1) 当时,求函数的单调区间；(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值【解析】：(1)当时 ,在上单调递增.（2）当时，其开口向上，对称轴 ，且过 -kk k（i）当，即时，在上单调递增，从而当时， 取得最小值 ,当时， 取得最大值.（ii）当，即时，令解得：,注意到,(注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断) 的最小值,的最大值综上所述，当时，的最小值,最大值解法2（2）当时，对，都有，故故，而 ，所以 ，3（本小题共13分）(2013北京.理)设为曲线在点处的切线（）求的方程；（）证明：除切点之外，曲线在直线的下方解：（I）,所以的斜率所以的方程为（II）证明：令则在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，又时，即时，即即除切点（1，0）之外，曲线C在直线的下方4（13分）（2013北京.文）已知函数(1)若曲线在点处与直线相切，求与的值；(2)若曲线与直线有两个不同交点，求的取值范围解：(1),因为曲线在点处与直线相切，所以故(2)于是当时，故单调递增当时，故单调递减所以当时，取得最小值，故当时，曲线与直线有两个不同交点故的取值范围是5(2013大纲版.文)（12分）已知函数(1)求当时,讨论的单调性;(1)若时,求的取值范围.解：(1)求当时, ，令或当时， ,单调递增，当时， ,单调递减，当时， ,单调递增；(2)由，可解得，当时，所以函数在单调递增，于是当时，综上可得，的取值范围是.6（13分）（2013福建）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值解：函数的定义域为，（1）当时，因而，所以曲线在点处的切线方程为（2）由知：当时，函数为上的增函数，函数无极值；当时，由，解得又当时，当时，从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值综上，当时，函数无极值；当时，函数在处取得极小值，无极大值7（14分）（2013福建）已知函数(为自然对数的底数)(1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；(2)求函数的极值；(3)当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值解：(1)由，得，又曲线在点处的切线平行于轴, (2) ，当时，函数为上的增函数，函数无极值；当时，由，解得又当时，当时，在上单调递减,在上单调递增,从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值综上，当时，函数无极值；当时，函数在处取得极小值，无极大值 (3)当时，令则直线与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解假设，此时，又函数的图象连续不断，由零点存在定理可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故又时，知方程在上没有实数解，所以的最大值为.8（13分）（2013安徽）设函数，证明：（1）对每个，存在唯一的，满足；（2）对于任意，由（1）中构成数列满足证明：（1）对每个，当时，由函数，可得，故函数在上是增函数求得，又根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足（2）对于任意，由（1）中构成数列，当时，由在上单调递增，可得 故数列为递减数列，即对任意的 由于.，.，用减去并移项，利用，可得综上可得，对于任意，由（1）中构成数列满足9. (本小题满分14分) (2013陕西.理)已知函数. () 若直线与的反函数的图像相切, 求实数的值; () 设, 讨论曲线与曲线 公共点的个数.() 设 , 比较与的大小, 并说明理由. 【解析】() 的反函数. 设直线与相切与点 。所以() 当时， 曲线与曲线 的公共点个数即方程 根的个数。由，令则在上单调递减,这时,在上单调递增,这时是的极小值即最小值. 所以对曲线与曲线 公共点的个数，讨论如下：当时,有个公共点；当,有个公共点；当有个公共点；() 设令,则的导函数所以在上单调递增,且,因此在上单调递增,而所以在。因为当时,且所以当时, 10. (本小题满分14分) (2013陕西.文)已知函数. () 求的反函数的图象上图象上点处的切线方程; () 证明: 曲线与曲线有唯一公共点. () 设, 比较与的大小, 并说明理由. 解().() 证明曲线与曲线有唯一公共点，过程如下。令则的导数且因此，当时, 单调递减;当时, 单调递增.所以 在上单调递增,最多有一个零点所以，曲线与曲线只有唯一公共点.(证毕）() 设令则的导函数所以在上单调递增,且,因此在上单调递增,而所以在。因为当时,且所以11.（本小题满分14分）(2013湖北.理)设为正整数，为正有理数.（I）求函数的最小值；（II）证明：（III）设记不小于的最小整数，例如令求的值。（参考数据：）解.(1)因为,令解得当时, ,所以在内是减函数当时, ,所以在内是增函数故函数在处取得最小值(2)由(1),当时,有即且等号当且仅当时成立.故当且时,有.在中,令,(这时且)得上式两边同乘得即.当时, 在中,令,(这时且),类似可得且当时, 式也成立综合得. (3)在中,令分别取81,82,83,125,得,.将以上各式相加,并整理得代入数据计算,可得,由的定义,得窗体底端12（本小题满分13分）(2013湖北.文)设，已知函数.（）当时，讨论函数的单调性；（）当时，称为、关于的加权平均数.（i）判断, ,是否成等比数列，并证明；（ii）、的几何平均数记为. 称为、的调和平均数，记为. 若，求的取值范围. 解：（）函数的定义域为，所以当时，函数在,上单调递增；当时，函数在,上单调递减（）（i）计算得，成等比数列,（ii）由（i）知,故由，得当时，函数在上单调递增这时，即的取值范围为；当时，函数在上单调递减.所以的取值范围为13. (2013江苏卷)（本小题满分16分）设函数，其中为实数.(1) 若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的范围；(2) 若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.解：（1）, 由题意：对恒成立 即对恒成立在上有最小值时，恒成立，在无最值时，由题意,综上：的范围是：（2）在上是单调增函数 对恒成立即对恒成立令，则则有的零点个数即为与图像交点的个数令则易知在上单调递增，在上单调递减在时取到最大值当时，当时，图像如下 所以由图可知：时，有1个零点时，有2个零点时，有1个零点综上所述：或时，有1个零点时，有2个零点14（本小题满分13分）(2013湖南.理)已知，函数（1） 记在区间上的最大值为，求的表达式（2） 是否存在，使函数在区间内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若村子啊，求出的取值范围，若不存在，请说明理由解（1）当时，；当时，因此，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；若，则在上单调递减，若，则在上单调递减，在上单调递增。所以，而，故当时，；当当时，.综上所述，（2）由（1）知，当时，在上单调递减，故不满足要求。当时，在上单调递减，在上单调递增，若存在，使曲线在两点处的切线互相垂直，则，且，即 亦即 （*）由得，故（*）成立等价于集合与集合的交集非空.因为，所以当且仅当，即时，综上所述，存在使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且的取值范围是15（13分）（2013湖南.文）已知函数.（）求的单调区间；（）证明：当时，解：（I）易知函数的定义域为当时，；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（II）当时，由于;同理，当时，;当时，不妨设由（I）可知：下面证明：，即证此不等式等价于.令，则.当时，单调递减，即,而从而，.由于在上单调递增，16（本小题满分13分）(2013山东.理)设函数是自然对数的底数，.（1）求的单调区间，最大值；（2）讨论关于x的方程根的个数.解：（1），令当时, ,单调递增;当时, ,单调递减;所以当时，函数取得最大值（2）由（1）知，先增后减，即从负无穷增大到，然后递减到c，而函数是时由正无穷递减到，然后又逐渐增大。故令得，所以当时，方程有两个根；当时，方程有一两个根；当时，方程有无两个根.17(山东.文)(本小题满分12分)已知函数()设，求的单调区间() 设，且对于任意，。试比较与的大小解：（）由知又，故当时，若时，由得，恒成立，故函数的单调递减区间是；若，令可得，即函数在上是减函数，在上是增函数.所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是当时，令由于，故有显然有，故在区间上，导数小于0，函数是减函数；在区间上，导数大于0，函数是增函数综上，当时，函数的单调递减区间是；当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是当，函数的单调递减区间是，单调递增区间是（II）由题意，函数在处取到最小值，由（1）知，是函数的唯一极小值点故整理得令，则由当时，函数单调递增；当时，函数单调递减因为故,即,即18（13分）（2013安徽）设函数，区间（）求的长度（注：区间的长度定义为）；（）给定常数，当时，求长度的最小值解：（）因为方程有两个实根,故的解集为因此区间，区间长度为；（）设，则令,由于，故当时，单调递增；当时，单调递减，因此当时，的最小值必定在,或处取得.而，故.因此当时，在区间上取得最小值，即长度的最小值为19.(2013全国卷.文)已知，函数 （）若，求曲线在点处的切线方程； （)若，求在闭区间上的最小值.解(略)20.（本小题满分14分）(2013江西.理)已知函数为常数且.（1） 证明：函数的图像关于直线对称；（2） 若满足，但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，试确定的取值范围；（3） 对于（2）中的，和，设为函数的最大值点，,记的面积为，讨论的单调性。（1）证明：,，的图象关于直线对称（2）解：当时，有 只有一个解,又，故不是二阶周期点当时，有有解集，故此集合中的所有点都不是二阶周期点当时，有有四个解：,由，,故只有,是的二阶周期点，综上所述，所求的取值范围为（3）由（2）得,.为函数的最大值点，所以或当时，求导得：所以当时，单调递增，当时，单调递减当时，求导得因为,从而所以当时，单调递增21（本小题满分14分）(2013江西.文)设函数常数且.（1） 当时，求；（2） 若满足但，则称为的二阶有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点;（3） 对于（2）中，设,，记的面积为，求在区间上的最大值和最小值。 解：（1）当时，求，故（2） 当时，由，解得，因为，故不是函数的二阶周期点；当时，由，解得因为故是函数的二阶周期点；当时，由，解得，因为，故得不是函数的二阶周期点；当时，由，解得，因为，故是函数的二阶周期点；因此函数有两个二阶周期点，,（3）由（2）得,则，所以因为，有，所以（或令利用导数证明其符号为正亦可）在区间上是增函数，故在区间，上的最小值为，最大值为.22（12分）（2013辽宁.理）已知函数,，当时，（I）求证：；（II）若恒成立，求实数的取值范围（I） 证明：当时，令，则当时，,所以在 上是增函数,即.当时，,令,则 ,当时， 在单调递增，,综上可知：.（II） 解：设令，则令，则 当时，, 可得是上的减函数，,故在单调递减，所以当时，在上恒成立下面证明当时，在上不恒成立 令，则. 当时，故在上是减函数，当时，所以存在，使得，此时，即在上不恒成立 综上实数的取值范围是23(2013大纲版.理)（12分）已知函数.（）若时，求的最小值；（）设数列的通项，证明：.解：（I）由已知，,，且3分若，则当时，所以当时，;若，则当时，所以当时，综上，的最小值为6分（ II）令，由（I）知，当时，即取，则.9分于是所以12分24(2013大纲版.文)（本小题满分12分）已知函数（I）求时,讨论的单调性; （II）若时,求的取值范围.【解析】()当时， .令，得.当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；（）由得. 当，时，所以在是增函数，于是当时，.综上，的取值范围是25（14分）（2013四川.理）已知函数，其中是实数，设,为该函数图象上的点，且.（I）指出函数的单调区间；（II）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；（III）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围解：（I）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递增（II），所以函数在点处的切线的斜率分别为因为函数的图象在点处的切线互相垂直，当且仅当，即时等号成立所以函数的图象在点处的切线互相垂直，且时，的最小值为.（III）当或时，故不成立，当时，函数在点，处的切线方程为当，函数在点处的切线方程为函数的图象在点处的切线重合的充要条件是由(1)及可得，由(1)(2)得因为函数在区间上单调递减，在上单调递减，且时，即，也即时, 所以的取值范围是26 (本小题满分14分) (2013天津.理)已知函数. () 求函数的单调区间; () 证明: 对任意的, 存在唯一的s, 使. () 设()中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有解：（）由题意可知函数的定义域为，求导数可得令当变化时，的变化情况如下表： - 0+ 单调递减极小值 单调递增 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为（）证明：当时，设，令，由（）可知，在区间单调递增，,，故存在唯一的，使得成立；（）证明：因为，由（）知，且，从而，其中，要使成立，只需，当时，若，则由的单调性，有矛盾，所以，即，从而成立，另一方面，令令当时，当时，故函数在处取到极大值，也是最大值，故有.综上可证：当时，有成立27 (本小题满分14分) (2013天津.文)设, 已知函数 () 证明在区间内单调递减, 在区间内单调递增; () 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明. 解：（I）令，由于，从而当时，所以函数在区间内单调递减，由于，所以时；当时，即函数在区间内单调递减，在区间上单调递增综合及，可知：在区间内单调递减，在区间内单调递增；（II）证明：由（I）可知：在区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增因为曲线在点处的切线相互平行，从而互不相等，且不妨，由可得，从而设，则由，所以，设，则，故故28（新课标.理）（12分）已知函数,若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线（）求的值；（）若时，求的取值范围解：（I）由题意知,而，故从而;（II）由（I）知，,设，则由题设得，令（i）若，则，从而当时，当时，即在上减，在上是增，故在上的最小值为，而，故当时，即恒成立，（ii）若，则，从而当时，即在上是增，而，故当时，即恒成立，（i）ii若时，则，故当时，不可能成立，综上，的取值范围是.29（新课标.文）（12分）已知函数，曲线在点处切线方程为（）求的值（）讨论的单调性，并求的极大值解：（），因为曲线在点处切线方程为所以,（）由（）知，,令或时，,时，所以的单调增区间是，单调减区间是当时，函数取得极大值，极大值为30（新课标.理）（12分）已知函数（）设是的极值点，求，并讨论的单调性；（）当时，证明.解：（）,是的极值点，.所以函数，其定义域为.设，则，所以在上为增函数，又时，即；当时，所以在上为减函数；在上为增函数；（）证明：当时，故只需证明当时当时，函数在上为增函数，且,故在上有唯一实数根，且当